【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 數(shù)列{bn},{cn}滿足 (n+1)bn=an+1﹣ ,(n+2)cn= ﹣ ,其中n∈N*.
(1)若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{cn}的通項公式;
(2)若存在實數(shù)λ,使得對一切n∈N*,有bn≤λ≤cn , 求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
【答案】
(1)解:∵數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,∴an=a1+2(n﹣1), =a1+n﹣1.
∴(n+2)cn= ﹣(a1+n﹣1)=n+2,解得cn=1
(2)證明:由(n+1)bn=an+1﹣ ,
可得:n(n+1)bn=nan+1﹣Sn,(n+1)(n+2)bn+1=(n+1)an+2﹣Sn+1,
相減可得:an+2﹣an+1=(n+2)bn+1﹣nbn,
可得:(n+2)cn= ﹣ = ﹣[an+1﹣(n+1)bn]
= +(n+1)bn= +(n+1)bn= (bn+bn﹣1),
因此cn= (bn+bn﹣1).∵bn≤λ≤cn,
∴λ≤cn= (bn+bn﹣1)≤λ,故bn=λ,cn=λ.
∴(n+1)λ=an+1﹣ ,(n+2)λ= (an+1+an+2)﹣ ,
相減可得: (an+2﹣an+1)=λ,即an+2﹣an+1=2λ,(n≥2).
又2λ= =a2﹣a1,則an+1﹣an=2λ(n≥1),∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列
【解析】(1)數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,可得an=a1+2(n﹣1), =a1+n﹣1.代入(n+2)cn= ﹣ 即可得出cn . (2)由(n+1)bn=an+1﹣ ,可得:n(n+1)bn=nan+1﹣Sn , (n+1)(n+2)bn+1=(n+1)an+2﹣Sn+1 , 相減可得:an+2﹣an+1=(n+2)bn+1﹣nbn , 代入化簡可得cn= (bn+bn﹣1).bn≤λ≤cn , λ≤cn= (bn+bn﹣1)≤λ,故bn=λ,cn=λ.進而得出.
【考點精析】本題主要考查了等差關系的確定和數(shù)列的通項公式的相關知識點,需要掌握如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),即-=d ,(n≥2,n∈N)那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題.
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【題目】如圖,三角形所在的平面與長方形所在的平面垂直,.點是邊的中點,點分別在線段,上,且.
(1)證明:;
(2)求二面角的正切值;
(3)求直線與直線PG所成角的余弦值.
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【題目】某學校為了了解高中生的藝術素養(yǎng),從學校隨機選取男,女同學各50人進行研究,對這100名學生在音樂、美術、戲劇、舞蹈等多個藝術項目進行多方位的素質(zhì)測評,并把調(diào)查結果轉(zhuǎn)化為個人的素養(yǎng)指標和,制成下圖,其中“*”表示男同學,“+”表示女同學.
若,則認定該同學為“初級水平”,若,則認定該同學為“中級水平”,若,則認定該同學為“高級水平”;若,則認定該同學為“具備一定藝術發(fā)展?jié)撡|(zhì)”,否則為“不具備明顯藝術發(fā)展?jié)撡|(zhì)”.
(I)從50名女同學的中隨機選出一名,求該同學為“初級水平”的概率;
(Ⅱ)從男同學所有“不具備明顯藝術發(fā)展?jié)撡|(zhì)的中級或高級水平”中任選2名,求選出的2名均為“高級水平”的概率;
(Ⅲ)試比較這100名同學中,男、女生指標的方差的大。ㄖ恍鑼懗鼋Y論).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,焦點在x軸上的橢圓C: =1經(jīng)過點(b,2e),其中e為橢圓C的離心率.過點T(1,0)作斜率為k(k>0)的直線l交橢圓C于A,B兩點(A在x軸下方).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過點O且平行于l的直線交橢圓C于點M,N,求 的值;
(3)記直線l與y軸的交點為P.若 = ,求直線l的斜率k.
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【題目】已知數(shù)列滿足,若為單調(diào)遞增的等差數(shù)列,其前項和為,則__________;若為單調(diào)遞減的等比數(shù)列,其前項和為,則__________.
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【題目】某輿情機構為了解人們對某事件的關注度,隨機抽取了人進行調(diào)查,其中女性中對該事件關注的占,而男性有人表示對該事件沒有關注.
關注 | 沒關注 | 合計 | |
男 | |||
女 | |||
合計 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)補全列聯(lián)表;
(2)能否有的把握認為“對事件是否關注與性別有關”?
(3)已知在被調(diào)查的女性中有名大學生,這其中有名對此事關注.現(xiàn)在從這名女大學生中隨機抽取人,求至少有人對此事關注的概率.
附表:
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【題目】(1)設直線l過點(2,3)且與直線2x+y+1=0垂直,l與x軸,y軸分別交于A、B兩點,求|AB|;
(2)求過點A(4,-1)且在x軸和y軸上的截距相等的直線l的方程.
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【題目】已知函數(shù)
(1)當時,求滿足的的取值:
(2)若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)
①存在,不等式有解,求的取值范圍;
②若函數(shù)滿足,若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最大值.
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【題目】學校藝術節(jié)對同一類的,,,四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________.
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