Question

19．某商場五一期間搞促銷活動，顧客購物滿一定數額可自愿進行以下游戲，花費10元從1，2，3，4，5，6中挑選一個點數，然后擲骰子3次，若所選的點數出現，則先退還顧客10元，然后根據所選的點數出現的次數，每次再額外給顧客10元獎勵；若所選的點數不出現，則10元不再退還．
（Ⅰ）某顧客參加游戲，求該顧客獲獎的概率；
（Ⅱ）計算顧客在此游戲中的凈收益X的分布列與數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設“顧客所選噗數出現”為事件A，“顧客所選點數不出現”為事件B，由事件A與事件B為對立事件，能求出該顧客獲獎概率．
（Ⅱ）依題意，隨機變量X的所有可能取值為-10，10，20，30，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）設“顧客所選噗數出現”為事件A，“顧客所選點數不出現”為事件B，
∵事件A與事件B為對立事件，
∴該顧客獲獎概率為P（A）=1-P（B）=1-（$\frac{5}{6}$）³=$\frac{91}{216}$．
（Ⅱ）依題意，隨機變量X的所有可能取值為-10，10，20，30，
P（X=-10）=（$\frac{5}{6}$）³=$\frac{125}{216}$，
P（X=10）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{6}）（\frac{5}{6}）^{2}$=$\frac{25}{72}$，
P（X=20）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{6}）^{2}（\frac{5}{6}）=\frac{5}{72}$，
P（X=30）=（$\frac{1}{6}$）³=$\frac{1}{216}$，
∴X的分布列為：

X	-10	10	20	30
P	$\frac{175}{216}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{5}{72}$	$\frac{1}{216}$

∴E（X）=$（-10）×\frac{125}{216}$+10×$\frac{25}{72}$+$20×\frac{5}{72}$+30×$\frac{1}{216}$=-$\frac{85}{108}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．