Question

8．如圖，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 取PC中點(diǎn)D，連結(jié)BD，設(shè)BD=x．利用三角形中位線定理與含有45°角的直角三角形的性質(zhì)，算出∠BDC=135°，CD=PD=$\sqrt{2}$x．在△BCD中利用余弦定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)建立關(guān)于x的方程，解出x，從而得出PA，PC．最后利用數(shù)量積的公式加以計(jì)算，可得則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$的值

解答 解：取PC中點(diǎn)D，連結(jié)BD．設(shè)BD=x，
∵BD是△PAC的中位線，∴BD∥PA且BD=PA．
∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，
∵∠BPD=45°，BD=x，∴PD=$\sqrt{2}$x，CD=PD=$\sqrt{2}$x，
△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+450°=130°，BC=1，
由余弦定理，得BC²=BD²+CD²-2BD•CDcos∠BDC=1，
即x²+2x²-2x•$\sqrt{2}$xcos135°=1，解之得x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即BD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴PA=2BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，PC=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PC}$|cosAPC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{10}}{5}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-$\frac{4}{5}$，
故答案為：-$\frac{4}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題給出三角形的中線與一條邊垂直且與另一邊成30度角，求向量的數(shù)量積．著重考查了向量數(shù)量積計(jì)算公式、三角形中位線定義及其應(yīng)用、利用余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．