【題目】已知函數(shù)，，.

（1）求證:；

（2）若在上恒成立，求的最大值與的最小值.

【答案】（1）答案見解析；（2）最大值為,的最小值為1.

【解析】

（1）構(gòu)建函數(shù)，通過導數(shù)研究函數(shù)在單調(diào)性并計算最值，可得結(jié)果.

（2）構(gòu)造函數(shù)，通過分類討論的方法，，和，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并計算最值比較，可得結(jié)果.

（1）由

所以.

又，,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.

從而,.

（2）當時,

“”等價于“”

“”等價于“”.

令,則,

當時,

對任意恒成立.

當時,

因為對任意,,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.

從而對任意恒成立.

當時,

存在唯一的，使得.

與在區(qū)間上的情況如下:

0

↗

↘

因為在區(qū)間上是增函數(shù),

所以.

進一步,“對任意恒成立”

當且僅當,即,

綜上所述：

當且僅當時,對任意恒成立;

當且僅當時,對任意恒成立.

所以，若對任意恒成立,

則最大值為,的最小值為1.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為了解高三年級不同性別的學生對體育課改上自習課的態(tài)度（肯定還是否定），進行了如下的調(diào)查研究.全年級共有名學生，男女生人數(shù)之比為，現(xiàn)按分層抽樣方法抽取若干名學生，每人被抽到的概率均為．

（1）求抽取的男學生人數(shù)和女學生人數(shù)；

（2）通過對被抽取的學生的問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：


否定

肯定

總計

男生


10


女生

30



總計




①完成列聯(lián)表；

②能否有的把握認為態(tài)度與性別有關(guān)？

（3）若一班有名男生被抽到，其中人持否定態(tài)度，人持肯定態(tài)度；二班有名女生被抽到，其中人持否定態(tài)度，人持肯定態(tài)度．

現(xiàn)從這人中隨機抽取一男一女進一步詢問所持態(tài)度的原因，求其中恰有一人持肯定態(tài)度一人持否定態(tài)度的概率．

解答時可參考下面臨界值表：


0.10

0.05

0.025

0.010

0.005


2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)滿足，且當時，成立，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是()

A. aB. C. D. c

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當a＝0時，求函數(shù)f (x)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）已知函數(shù)f (x)的導函數(shù)f (x)有三個零點x1，x2，x3(x1 x2 x3).①求a的取值范圍；②若m1，m2(m1 m2)是函數(shù)f (x)的兩個零點，證明：x1m1x1 1.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：．

Ⅰ直線l的參數(shù)方程化為極坐標方程；

Ⅱ求直線l與曲線C交點的極坐標其中，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.

(1)寫出的普通方程及的直角坐標方程;

(2)設點在上,點在上,求的最小值及此時點的直角坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若是的極小值點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，證明：當時，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)f（x），若f（x0）＝x0，則稱x0為f（x）的不動點.設f（x）＝x3+ax2+bx+3.

（1）當a＝0時，

（i）求f（x）的極值點；

（ⅱ）若存在x0既是f（x）的極值點，也是f（x）的不動點，求b的值；

（2）是否存在a，b，使得f（x）有兩個極值點，且這兩個極值點均為f（x）的不動點？說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖放置的邊長為1的正方形 沿 軸滾動（向右為順時針，向左為逆時針）．設頂點 的軌跡方程是，則關(guān)于的最小正周期及在其兩個相鄰零點間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積S的正確結(jié)論是（ ）

A. B.

C. D.

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