Question

【題目】已知四邊形是梯形，如圖，，，，為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（如圖2），且

（1）求證：平面平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接，取的中點(diǎn)，連接，，，作于，根據(jù)勾股定理逆定理得到，證明平面，得到答案.

（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的一個(gè)法向量為，再利用向量夾角公式得到答案.

（1）連接，因?yàn)?/span>，，，為的中點(diǎn)，，所以四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，且.

取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?/span>，所以，，，

作于，則.

因?yàn)?/span>，，，所以，故.

因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）由（1）知平面，.以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>，所以，，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得

即，令，則，，所以.

因?yàn)?/span>，設(shè)與平面所成的角為，

則，

即與平面所成角的正弦值為.