【題目】已知圓和定點,其中點是該圓的圓心,是圓上任意一點,線段的垂直平分線交于點,設(shè)動點的軌跡為.
(1)求動點的軌跡方程;
(2)設(shè)曲線與軸交于兩點,點是曲線上異于的任意一點,記直線,的斜率分別為,.證明:是定值;
(3)設(shè)點是曲線上另一個異于的點,且直線與的斜率滿足,試探究:直線是否經(jīng)過定點?如果是,求出該定點,如果不是,請說明理由.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)是,.
【解析】
(1)利用橢圓的定義可求曲線的軌跡方程.
(2)設(shè),算出,后計算,利用在橢圓上化簡可得定值.
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論可得,因此,從而.直線的斜率存在時,可設(shè)的方程為,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消去后利用韋達定理化簡可得,從而得到直線經(jīng)過定點,當(dāng)直線的斜率不存在時可驗證直線也過這個定點.
(1)依題意可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
因為線段的垂直平分線交于點,所以,
動點始終滿足,故動點滿足橢圓的定義,
因此,解得,∴橢圓的方程為.
(2),設(shè),則;
(3),由(2)中的結(jié)論可知,
所以,即,故.
當(dāng)直線的斜率存在時,可設(shè)的方程為,
由可得,
則(*),,
將(*)式代入可得,即,
亦即.或.
當(dāng)時,,此時直線恒過定點(舍);
當(dāng)時,,此時直線恒過定點;
當(dāng)直線的斜率不存在時,經(jīng)檢驗,可知直線也恒過定點;
綜上所述,直線恒過定點.
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【題目】已知函數(shù),若關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
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【題目】(多選)定義在R上的函數(shù)滿足,當(dāng)時,,則函數(shù)滿足( )
A.B.是奇函數(shù)
C.在上有最大值D.的解集為
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【題目】已知圓的圓心在直線上,且圓經(jīng)過點.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線過點且與圓相交,所得弦長為4,求直線的方程.
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【題目】設(shè)函數(shù), .
(1)解方程.
(2)令,求的值.
(3)若是定義在上的奇函數(shù),且對任意恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀),高度恒定,它的后墻利用舊墻不花錢,正面用鐵柵,每米長造價40元,兩側(cè)墻砌磚,每米長造價45元,頂部每平方米造價20元,求:
(1)倉庫頂部面積的最大允許值是多少?
(2)為使達到最大,而實際投資又不超過預(yù)算,那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計為多長?
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【題目】如圖,四棱錐中,底面是菱形,是的中點,點在側(cè)棱上.
(1)求證:平面;
(2)若是的中點,求證:平面;
(3)若,試求的值.
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【題目】如圖所示的幾何體,底面ABFE是邊長為2的正方形,DE與CF均垂直于平面ABFE,且.
(1)證明:BE∥平面ACD;
(2)求三棱錐B﹣ACD的體積.
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【題目】設(shè)集合,若是的子集,把中的所有數(shù)的和稱為的“容量”(規(guī)定空集的容量為0),若的容量為奇(偶)數(shù),則稱為的奇(偶)子集,命題①:的奇子集與偶子集個數(shù)相等;命題②:當(dāng)時,的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等,則下列說法正確的是( )
A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立
C.命題①成立,命題②不成立D.命題①不成立,命題②成立
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