Question

（本小題滿分12分）
如圖：在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分別為所在邊的中點(diǎn)，O為面對(duì)角線A₁C₁的中點(diǎn).
(1) 求證：面MNP∥面A₁C₁B；(2) 求證：MO⊥面A₁C₁.

Answer 1

證明：（1） 連結(jié)D₁C， MN為△DD₁C的中位線，∴MN∥D₁C.………………2分


又∵D₁C∥A₁B∴MN∥A₁B.同理MP∥C₁B.…………………………………………… 4分
而MN與MP相交，MN，MP面MNP，A₁B，
A₁B面A₁C₁B.∴面MNP∥面A₁C₁B.………………6分
證明：（2） 法1，連結(jié)C₁M和A₁M，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a，
∵正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁，∴C₁M=A₁M，
又∵O為A₁C₁的中點(diǎn)，
∴A₁C₁⊥MO………………………………………………8分
連結(jié)BO和BM，在三角形BMO中，

第20題答案圖（1）

經(jīng)計(jì)算知：

∴OB²+MO²=MB²，
即BO⊥MO.而A₁C₁，BO面A₁C₁B，∴MO⊥面A₁C₁B.
…………………………………………………………12分
法2，連結(jié)AB₁，B₁D,B₁D₁,則O是B₁D₁的中點(diǎn),
∵AD⊥面ABB₁A₁,A₁B面ABB₁A₁,∴AD⊥A₁B.
又A₁B⊥A₁B,AD和AB₁是面AB₁D內(nèi)兩條相交直線,  
∴A₁B⊥面AB₁D,…………………………………………8分
又B₁D面AB₁D,∴A₁B⊥B₁D.同理:BC₁⊥B₁D.                      第20題答案圖（2）
又A₁B和BC₁是面A₁BC₁內(nèi)兩條相交直線,∴B₁D⊥面A₁BC₁.………………………10分
∵OM是△D₁B₁D的中位線,∴OM∥B₁D.∴OM⊥面A₁BC₁.…………………………12分

略