【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和 ,其中n∈N* . (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設 ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(Ⅲ)若對于任意正整數(shù)n,都有 ,求實數(shù)λ的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)當n=1時,a1=S1=﹣3;
當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣4n﹣(n﹣1)2+4(n﹣1)=2n﹣5,
因為a1=﹣3符合上式,
所以an=2n﹣5(n∈N*).
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .
所以Tn=b1+b2+…+bn=(2﹣3+1)+(2﹣1+1)+…+(22n﹣5+1)
=(2﹣3+2﹣1+…+22n﹣5)+n
= = .
(Ⅲ)
= = ,
當n=1時, ,(注:此時 ),
當n≥2時,因為 ,
所以 .
則n=1時,取得最大值.
因為對于任意正整數(shù)n,都有 ,
由題意,得 ;
所以λ的最小值為 .
【解析】(Ⅰ)由數(shù)列的遞推式:當n=1時,a1=S1;當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1,計算即可得到所求通項;(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .運用數(shù)列的求和方法:分組求和,結合等比數(shù)列的求和公式,計算即可得到所求和;(Ⅲ)運用數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,化簡整理,判斷數(shù)列的最值,再由恒成立思想,即可得到所求實數(shù)λ的最小值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的頂點A(1,3),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x﹣3y+2=0,AC邊上的高BH所在直線方程為2x+3y﹣9=0.求:
(1)頂點C的坐標;
(2)直線BC的方程.
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【題目】設函數(shù)y=f(x)的定義域為D,值域為A,如果存在函數(shù)x=g(t),使得函數(shù)y=f[g(t)]的值域仍是A,那么稱x=g(t)是函數(shù)y=f(x)的一個等值域變換.
(1)判斷下列函數(shù)x=g(t)是不是函數(shù)y=f(x)的一個等值域變換?說明你的理由; ① ;
②f(x)=x2﹣x+1,x∈R,x=g(t)=2t , t∈R.
(2)設f(x)=log2x的定義域為x∈[2,8],已知 是y=f(x)的一個等值域變換,且函數(shù)y=f[g(t)]的定義域為R,求實數(shù)m、n的值.
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【題目】在數(shù)列{an}中,a3=12,a11=﹣5,且任意連續(xù)三項的和均為11,則a2017=;設Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則使得Sn≤100成立的最大整數(shù)n= .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(2a+1)x+b,其中a,b∈R. (Ⅰ)當a=1,b=﹣4時,求函數(shù)f(x)的零點;
(Ⅱ)如果函數(shù)f(x)的圖象在直線y=x+2的上方,證明:b>2;
(Ⅲ)當b=2時,解關于x的不等式f(x)<0.
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【題目】在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x其中x∈(0,1),以A,B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e1 , 以C,D為焦點且過點A的橢圓的離心率為e2 , 若對任意x∈(0,1)不等式t<e1+e2恒成立,則t的最大值為( )
A.
B.
C.2
D.
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【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件樣本,測量這些樣本的一項質(zhì)量指標值,由測量結果得如下頻數(shù)分布表:
質(zhì)量指標 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125] |
頻數(shù) | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
則樣本的該項質(zhì)量指標值落在[105,125]上的頻率為 .
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【題目】如圖,在直四棱柱 中,底面 是邊長為2的正方形, 分別為線段 , 的中點.
(1)求證: ||平面 ;
(2)四棱柱 的外接球的表面積為 ,求異面直線 與 所成的角的大小.
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【題目】若f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),當x>1時,f(x)>0,且滿足 .
(1)求f(1)的值;
(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若f(2)=1,解不等式 .
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