Question

對(duì)任意實(shí)數(shù)組x₁，x₂，…，x_n，記它們中最小的數(shù)為f（x₁，x₂，…，x_n），給出下述結(jié)論：
①函數(shù)y=f（4x，2-3x）的圖象為一條直線；
②函數(shù)y=f（x，2-x）的最大值等于1；
③函數(shù)y=f（x²+2x，x²-2x）一定為偶函數(shù)；
④對(duì)a＞0，b＞0，f（a，b，

1

a2+b2

）的最大值為

3	1 2

．
其中，正確命題的序號(hào)有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)最小數(shù)求出函數(shù)式，即可判斷圖象；②求出函數(shù)式，即可得到最大值；③求出函數(shù)式，用分段表示，合并成f（x）=x²-2|x|，即可判斷奇偶性；④由最小數(shù)的定義得到故f（a，b，

1

a2+b2

）≤

3	ab• 1 a2+b2

，再由基本不等式即可得到最大值，注意等號(hào)成立的條件．

解答： 解：①f（4x，2-3x）=

4x，x≤ 2 7 2-3x，x＞ 2 7

，的圖象為折線，故①是錯(cuò)誤的；
②f（x，2-x）=

x，x≤1 2-x，x＞1

的最大值為1，故②正確；
③函數(shù)y=f（x²+2x，x²-2x）=

x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0

，故函數(shù)f（x）=x²-2|x|，f（-x）=f（x），即f（x）是偶函數(shù)，故③正確；
對(duì)④，由于f（a，b，

1

a2+b2

）≤a，f（a，b，

1

a2+b2

）≤b，f（a，b，

1

a2+b2

）≤

1

a2+b2

，
故f（a，b，

1

a2+b2

）≤

3	ab• 1 a2+b2

≤

3	ab• 1 2 • 1 ab

=

3	1 2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

a2+b2

，即a=b=

3	1 2

時(shí)取等號(hào)，故④也正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的解析式的求法，以及圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的最值和奇偶性，以及基本不等式的運(yùn)用，注意等號(hào)成立的條件．