Question

（本題滿分18分）已知：函數(shù) ，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)函數(shù)．
（1）求、的值及函數(shù)的解析式；
（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）如果關(guān)于的方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2） ；（3）時(shí)滿足題設(shè)．

（1）由題意得：函數(shù) 的對稱軸為，要討論得函數(shù)在上的單調(diào)性，又函數(shù)在區(qū)間上有最大值4，最小值1，求出、的值；
（2）不等式在時(shí)恒成立，即恒成立，換元求出右邊的最小值即可；
（3）關(guān)于的方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，令，則  有兩個(gè)實(shí)根，一個(gè)根大于0且小于1，另一個(gè)根大于1.根據(jù)二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系列出滿足的條件求解。
解：（1），由題意得：
 得， 或  得（舍去）
，…………4分
，…………5分
（2）不等式，即，……9分
設(shè)，，，…………11分
（3），即．
令，則   …………13分
記方程的根為、，當(dāng)時(shí)，原方程有三個(gè)相異實(shí)根，
記，由題可知，
或．…………16分
       時(shí)滿足題設(shè)．…………18分