Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=1，

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

（n≥2，n∈N^*），其通項(xiàng)公式a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：把

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

變形得到

1

an+1

-

1

an

=

1

an

-

1

an-1

，說明數(shù)列{

1

an

-

1

an-1

}構(gòu)成以1為公比的等比數(shù)列，求出

1

an

-

1

an-1

=

1

2

（n≥2）．說明數(shù)列{

1

an

}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列．然后由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：由

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

，得

1

an+1

-

1

an

=

1

an

-

1

an-1

，
∵a₁=2，a₂=1，∴

1

a2

-

1

a1

=1-

1

2

=

1

2

，
∴數(shù)列{

1

an

-

1

an-1

}構(gòu)成以

1

2

為首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù)列，
則

1

an

-

1

an-1

=

1

2

（n≥2）．
∴數(shù)列{

1

an

}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列．
則

1

an

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

．
∴an=

2

n

．
故答案為：

2

n

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系與等比關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．