已知雙曲線的中心為原點,左、右焦點分別為、,離心率為,點是直線上任意一點,點在雙曲線上,且滿足.
(1)求實數(shù)的值;
(2)證明:直線與直線的斜率之積是定值;
(3)若點的縱坐標為,過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點、,在線段上去異于點、的點,滿足,證明點恒在一條定直線上.
(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)雙曲線的離心率列方程求出實數(shù)的值;(2)設點的坐標為,點的坐標為,利用條件確定與、之間的關系,再結合點在雙曲線上這一條件,以及斜率公式來證明直線與直線的斜率之積是定值;(3)證法一是先設點、的坐標分別為、,結合(2)得到,,引入?yún)?shù),利用轉化為相應的條件,利用坐標運算得到點的坐標所滿足的關系式,進而證明點恒在定直線上;證法二是設直線的方程為,將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立,結合韋達定理,將條件進行等價轉化為,結合韋達定理化簡為,最后利用點在直線上得到,從而消去得到
,進而證明點恒在定直線上.
試題解析:(1)根據(jù)雙曲線的定義可得雙曲線的離心率為,由于,解得,
故雙曲線的方程為;
(2)設點的坐標為,點的坐標為,易知點,
則,,
,因此點的坐標為,
故直線的斜率,直線的斜率為,
因此直線與直線的斜率之積為,
由于點在雙曲線上,所以,所以,
于是有
(定值);
(3)證法一:設點 且過點的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點、,由(2)知,,,
設,則,即,
整理得,
由①③,②④得,,
將,,代入⑥得,⑦,
將⑦代入⑤得,即點恒在定直線上;
證法二:依題意,直線的斜率存在,設直線的方程為,
由,
消去得,
因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點、,
則有,
設點,由,得,
整理得,
將②③代入上式得,
整理得,④
因為點在直線上,所以,⑤
聯(lián)立④⑤消去得,所以點恒在定直線.
考點:1.雙曲線的離心率;2.向量的坐標運算;3.斜率公式;4.韋達定理
科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)七十一第十章第八節(jié)練習卷(解析版) 題型:填空題
設隨機變量X的概率分布為
X | 1 | 2 | 3 | 4 |
P | m |
則P(|X-3|=1)= .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源:2014年陜西省咸陽市高考模擬考試(一)理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸入的N=2014,則輸出的S=( )
A.2011 B.2012 C.2013 D.2014
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源:2014年廣東省廣州市畢業(yè)班綜合測試一理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
某中學從某次考試成績中抽取若干名學生的分數(shù),并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,樣本數(shù)據(jù)分組為、、、、.若用分層抽樣的方法從樣本中抽取分數(shù)在范圍內的數(shù)據(jù)個,則其中分數(shù)在范圍內的樣本數(shù)據(jù)有( )
A.個 B.個 C.個 D.個
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源:2014年廣東省廣州市畢業(yè)班綜合測試一文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知某種同型號的瓶飲料中有瓶已過了保質期.
(1)從瓶飲料中任意抽取瓶,求抽到沒過保質期的飲料的概率;
(2)從瓶飲料中隨機抽取瓶,求抽到已過保質期的飲料的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源:2014年廣東省廣州市畢業(yè)班綜合測試一文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
設、是兩個非零向量,則使成立的一個必要非充分的條件是( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年(安徽專用)高考數(shù)學(文)仿真模擬卷2練習卷(解析版) 題型:填空題
如圖是一個空間幾何體的三視圖,其中正視圖和側視圖都是半徑為2的半圓,俯視圖是半徑為2的圓,則該幾何體的體積等于________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年(安徽專用)高考數(shù)學(文)專題階段評估模擬卷6練習卷(解析版) 題型:填空題
右面莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績,其中一個數(shù)字被污損,則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為________.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com