【題目】設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=x|x﹣a|+2x.
(1)若a=2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值;
(2)若a>2,寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(不必證明);
(3)若存在a∈[﹣2,4],使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】
(1)解:當(dāng)a=2,x∈[0,3]時(shí),

作函數(shù)圖象,

可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上是增函數(shù).

所以f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值為f(3)=9


(2)解:

①當(dāng)x≥a時(shí),

因?yàn)閍>2,所以

所以f(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)x<a時(shí),

因?yàn)閍>2,所以

所以f(x)在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減.

綜上所述,函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是 和[a,+∞),遞減區(qū)間是[ ,a]


(3)解:①當(dāng)﹣2≤a≤2時(shí), , ,

∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=t﹣f(a)不可能有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.

②當(dāng)2<a≤4時(shí),由(1)知f(x)在 和[a,+∞)上分別是增函數(shù),在 上是減函數(shù),

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),方程f(x)=tf(a)有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.

,g(a)在a∈(2,4]時(shí)是增函數(shù),

故g(a)max=5.

∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是


【解析】(1)通過圖象直接得出,(2)將x分區(qū)間進(jìn)行討論,去絕對(duì)值寫出解析式,求出單調(diào)區(qū)間,(3)將a分區(qū)間討論,求出單調(diào)區(qū)間解出即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義,需要了解單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲担焕煤瘮(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲挡拍艿贸稣_答案.

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(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并給出你的證明;
(3)定義:“若存在非零常數(shù)T,使得對(duì)函數(shù)g(x)定義域中的任意一個(gè)x,均有g(shù)(x+T)=g(x),則稱g(x)為以T為周期的周期函數(shù)”.試證明:函數(shù)f(x)為周期函數(shù),并求出 的值.

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(1)請(qǐng)完成下表,并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.5%的前提下,認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)?

(2)若將頻率視為概率,某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的3次購(gòu)物中,設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量

求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)的分布列;

的數(shù)學(xué)期望和方差.

,其中

對(duì)服務(wù)好評(píng)

對(duì)服務(wù)不滿意

合計(jì)

對(duì)商品好評(píng)

140

對(duì)商品不滿意

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