【題目】設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:
①對(duì)任意實(shí)數(shù)m,n都有f(m+n)+f(m﹣n)=2f(m)f(n);
②對(duì)任意m∈R,都有f(1+m)=f(1﹣m)恒成立;
③f(x)不恒為0,且當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)<1.
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并給出你的證明;
(3)定義:“若存在非零常數(shù)T,使得對(duì)函數(shù)g(x)定義域中的任意一個(gè)x,均有g(shù)(x+T)=g(x),則稱(chēng)g(x)為以T為周期的周期函數(shù)”.試證明:函數(shù)f(x)為周期函數(shù),并求出 的值.

【答案】
(1)解:由于f(x)不恒為0,故存在x0,使f(x0)≠0,令m=x0,n=0,

則f(x0)+f(0)=2f(x0)f(0),∴f(0)=1,

令m=n=1f(2)+f(0)=2f2(1),

由f(1+m)=f(1﹣m)并令m=1得:f(2)=f(0),

結(jié)合以上結(jié)果可得f2(1)=1,

又令 (因?yàn)? ),

∴f(1)<1,故f(1)=﹣1


(2)解:f(x)為偶函數(shù).

證明如下:

令m=0,n=x,得:f(x)+f(﹣x)=2f(0)f(x),以及有f(0)=1,

即有f(﹣x)=f(x),即有f(x)為偶函數(shù)


(3)證明:由f(1+m)=f(1﹣m),并取1+m=﹣x,得f(﹣x)=f(2+x),又f(x)為偶函數(shù),

則f(x+2)=f(x),即f(x)是以2為周期的周期函數(shù);

,

再令m= ,n=

,解得, ,

由f(1+m)=f(1﹣m)得, ,

,

又由于f(x)是以2為周期的周期函數(shù),


【解析】(1)在等式f(m+n)+f(m﹣n)=2f(m)f(n)中,令m=x0 , n=0,即可求得f(0)=1,結(jié)合f(m+n)+f(m﹣n)=2f(m)f(n)、f(1+m)=f(1﹣m)、f(x)不恒為0,且當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)<1即可求得f(1)的值;(2)在f(m+n)+f(m﹣n)=2f(m)f(n)中,取m=0,n=x,以及有f(0)=1,可得函數(shù)f(x)為偶函數(shù);(3)由f(1+m)=f(1﹣m),并取1+m=﹣x,得f(﹣x)=f(2+x),又f(x)為偶函數(shù),可得f(x+2)=f(x),即f(x)是以2為周期的周期函數(shù);
在f(m+n)+f(m﹣n)=2f(m)f(n)中,取 ,取m= ,n= 得到兩個(gè)關(guān)于f( )和f( )的方程組,求出f( )和f( ),再由函數(shù)的周期性求得 的值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.{3,4}
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D.{2,4}

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A.[ , ]
B.[ ,++∞)
C.(1,4]
D.[ ,4]

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