【題目】如圖,四棱錐中,底面是平行四邊形,,,平面.
(1)證明:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直及平面ABCD,由線面垂直的判定定理得到平面PBD;
(2)可直接作出線面角用幾何法求之,也可建立空間直角坐標(biāo)系用向量法求之.
(Ⅰ)底面ABCD是平行四邊形且,
是菱形,即,
又平面ABCD,得,
所以平面PBD.
(Ⅱ)方法一(幾何法):
取BC的中點(diǎn)Q,
連結(jié)PQ,DQ,交AC于點(diǎn)G,
過點(diǎn)G作,連HC,
在平行四邊形ABCD中且
是正三角形,即點(diǎn)G為重心,
又平面ABCD,得,又,
即平面PDQ,所以面面PDQ,
由作法知,平面PBC,
所以就是直線AC與平面PBC所成的角,
設(shè),則,再由相似求得
在,,
所以直線AC與平面PBC所成角的正弦值是.
方法二(坐標(biāo)法):
取PB的中點(diǎn)Q,以O為原點(diǎn),分別以OA,OB,OQ為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),則,,,,,
,,,
設(shè)平面PBC法向量,
則,
取,
記直線AC與平面PBC所成角為,
得,
所以直線AC與平面PBC所成角的正弦值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+acosx.
(1)求函數(shù)f(x)的奇偶性.并證明當(dāng)|a|≤2時(shí)函數(shù)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn);
(2)當(dāng)a=π時(shí),求f(x)的最小值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購買二手房情況,首先隨機(jī)抽樣其中200名購房者,并對(duì)其購房面積(單位:萬元/平方米,進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì),制成了如圖1所示的頻率分布直方圖,接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價(jià)(單位:萬元平方米),制成了如圖2所示的散點(diǎn)圖(圖中月份代碼1-13分別對(duì)應(yīng)2018年1月至2019年1月).
(1)試估計(jì)該市市民的平均購房面積.
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購房面積位于的40位市民中隨機(jī)取4人,再從這4人中隨機(jī)抽取2人,求這2人的購房面積恰好有一人在的概率.
(3)根據(jù)散點(diǎn)圖選和兩個(gè)模型進(jìn)行擬合,經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程,分別為和,并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值,如下表所示:
0.000591 | 0.000164 | |
0.00050 |
請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好,并用擬合效果更好的模型預(yù)測(cè)2019年6月份的二手房購房均價(jià)(精確到0.001)./span>
參考數(shù)據(jù):,,,,,,,,
參考公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),給出下列四個(gè)結(jié)論:
①函數(shù)的最小正周期是;
②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù);
③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;
④函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )
A.①②B.①③C.①②③D.①③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn)
(1)證明:;
(2)若為棱上一點(diǎn),滿足,求銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1F2,右頂點(diǎn)為A,P為橢圓C上任意一點(diǎn).已知的最大值為3,最小值為2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于MN兩點(diǎn)(MN不是左右頂點(diǎn)),且以MN為直徑的圓過點(diǎn)A.求證:直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某科研團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一款快速檢測(cè)某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測(cè)的準(zhǔn)確性,質(zhì)檢部門從某地區(qū)(人數(shù)眾多)隨機(jī)選取了位患者和位非患者,用該試劑盒分別對(duì)他們進(jìn)行檢測(cè),結(jié)果如下:
(1)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一人,對(duì)其檢測(cè)一次,估計(jì)此患者檢測(cè)結(jié)果為陽性的概率;
(2)從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取人,各檢測(cè)一次,假設(shè)每位患者的檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立,以表示檢測(cè)結(jié)果為陽性的患者人數(shù),利用(1)中所得概率,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)假設(shè)該地區(qū)有萬人,患病率為.從該地區(qū)隨機(jī)選取一人,用該試劑盒對(duì)其檢測(cè)一次.若檢測(cè)結(jié)果為陽性,能否判斷此人患該疾病的概率超過?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),在矩形中,在邊上,.沿將和折起,使平面和平面都與平面垂直,連接,如圖(2).
(1)證明:;
(2)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,對(duì)幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對(duì)這一偉大科學(xué)家的了解程度,某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生,請(qǐng)他們列舉阿基米德的成就,把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”,少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下:
0項(xiàng) | 1項(xiàng) | 2項(xiàng) | 3項(xiàng) | 4項(xiàng) | 5項(xiàng) | 5項(xiàng)以上 | |
理科生(人) | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生(人) | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
(1)完成如下列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為,了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)?
比較了解 | 不太了解 | 合計(jì) | |
理科生 | |||
文科生 | |||
合計(jì) |
(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.
(i)求抽取的文科生和理科生的人數(shù);
(ii)從10人的樣本中隨機(jī)抽取3人,用表示這3人中文科生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,.
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