Question

【題目】已知，．

當(dāng)時(shí)，求的值；

當(dāng)時(shí)，是否存在正整數(shù)n，r，使得、、，依次構(gòu)成等差數(shù)列？并說(shuō)明理由；

當(dāng)時(shí)，求的值用m表示．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在；（3）.

【解析】

在的二項(xiàng)式定理中，先令得所有項(xiàng)系數(shù)和，再令得常數(shù)項(xiàng)，然后相減即得．

將變成后，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得，再假設(shè)存在正整數(shù)n，r滿足題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得，化簡(jiǎn)整理，解方程即可判斷存在性；

求得，2，3的代數(shù)式的值，即可得到所求結(jié)論．

解：，

，

當(dāng)時(shí)，令和，可得：

，，

故；

當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在正整數(shù)n，r，使得、、，依次構(gòu)成等差數(shù)列，

由二項(xiàng)式定理可知，，若、、成等差數(shù)列，則，

即，即，

化簡(jiǎn)得，

即為，

若、、成等差數(shù)列，同理可得，

即有，

即為，

化為，

可得，方程無(wú)解，

則不存在正整數(shù)n，r，使得、、，依次構(gòu)成等差數(shù)列；

，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

可得時(shí)，．