Question

如圖，G為△ABC的重心，AD為BC邊上的中線．過G的直線MN分別交邊AB，AC于M，N兩點(diǎn)．設(shè)，，記y=f（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式及其定義域；
（2）設(shè)g（x）=x³+3a²x+2a（x∈[0，1]）．若對(duì)任意的，總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）結(jié)合圖象，利用，通過，說明M，G，N三點(diǎn)共線，求出函數(shù)的解析式以及定義域．
（2）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的值域分別為A，B，則A⊆B，通過函數(shù)的解析式求出A，通過函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，推出g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，求出B的范圍，通過，求出a的取值范圍．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231824144364996/SYS201311012318241443649019_DA/3.png">…（2分）
又，所以…（4分）
又M，G，N三點(diǎn)共線，所以=3…（6分）
解之得：…（8分）
（2）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的值域分別為A，B，則A⊆B，…（9分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231824144364996/SYS201311012318241443649019_DA/8.png">，在上單調(diào)遞減，所以…（10分）
（或由x，y的地位均等、對(duì)稱性可知）
因?yàn)間（x）=x³+3a²x+2a（x∈[0，1]），所以g'（x）=3x²+3a²≥0恒成立，
所以g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，…（12分）
所以B=[2a，3a²+2a+1]，…（13分）
從而…（14分）
解得：或0…（15分）
所以a的取值范圍是…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．