選修4--1:幾何證明選講
如圖,D為△ABC的BC邊上的一點(diǎn),⊙O1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D,交AB于另一點(diǎn)E,⊙O2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D,交AC于另一點(diǎn)F,⊙O1、⊙O2交于點(diǎn)G.求證:
(1)∠BAC+∠EGF=180°;
(2)∠EAG=∠EFG.
分析:(1)連接GD,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),可得∠EGD與∠B互補(bǔ),∠FGD與∠C互補(bǔ),從而∠EGD+∠B+∠FGD+∠C=360°,結(jié)合周角也等于360°,得到∠B+∠C=∠EGF,最后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,得到∠BAC+∠EGF=180°.
(2)由(1)的結(jié)論,得到四邊形AEGF是圓內(nèi)接內(nèi)接四邊形,結(jié)合同弧所對(duì)的圓周角相等,得到∠EAG=∠EFG.
解答:解:(1)連接GD,
∵四邊形BDGE是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠EGD+∠B=180°,同理可得∠FGD+∠C=180°,
∴∠EGD+∠B+∠FGD+∠C=360°,
∵∠EGD+∠FGD+∠EGF=360°,
∴∠B+∠C=∠EGF
∵△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°
∴∠BAC+∠EGF=180°.
(2)∵四邊形AEGF中,∠BAC+∠EGF=180°.
∴四邊形AEGF是圓內(nèi)接內(nèi)接四邊形,
設(shè)外接圓為圓M,則圓M中∠EAG和∠EFG同對(duì)弧EG
∴∠EAG=∠EFG.
點(diǎn)評(píng):本題以三角形內(nèi)角和與圓內(nèi)接四邊形為例,考查了與圓有關(guān)的角相等和角互補(bǔ)的證明,屬于基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

選修4-1:幾何證明選講
已知⊙O的弦AB長(zhǎng)為4,將線段AB延長(zhǎng)到點(diǎn)P,使BP=2;過(guò)點(diǎn)P作直線PC切⊙O于點(diǎn)C;
(1)求線段PC的長(zhǎng);
(2)作⊙O的弦CD交AB于點(diǎn)Q(CQ<DQ),且Q為AB中點(diǎn),又CD=5,求線段CQ的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•海口二模)選修4-1:幾何證明選講
切線AB與圓切于點(diǎn)B,圓內(nèi)有一點(diǎn)C滿足AB=AC,∠CAB的平分線AE交圓于D,E,延長(zhǎng)EC交圓于F,延長(zhǎng)DC交圓于G,連接FG.
(Ⅰ)證明:AC∥FG;
(Ⅱ)求證:EC=EG.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•徐州模擬)本題包括A、B、C、D四小題,請(qǐng)選定其中兩題,并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,
若多做,則按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,半徑分別為R,r(R>r>0)的兩圓⊙O,⊙O1內(nèi)切于點(diǎn)T,P是外圓⊙O上任意一點(diǎn),連PT交⊙O1于點(diǎn)M,PN與內(nèi)圓⊙O1相切,切點(diǎn)為N.求證:PN:PM為定值.
B.選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣M=
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(1)求矩陣M的逆矩陣;
(2)求矩陣M的特征值及特征向量;
C.選修4-2:矩陣與變換
在平面直角坐標(biāo)系x0y中,求圓C的參數(shù)方程為
x=-1+rcosθ
y=rsinθ
為參數(shù)r>0),以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
4
)=2
2
.若直線l與圓C相切,求r的值.
D.選修4-5:不等式選講
已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求證:1<a+b<
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

選修4-1:幾何證明選講
如圖,已知PA與⊙O相切于點(diǎn)A,PBC為⊙O的割線,弦CD∥AP,AD與BC相交于點(diǎn)E,F(xiàn)為CE上一點(diǎn),且DE2=EF•EC
(I)求證:A、P、D、F四點(diǎn)共圓
(II)若AE=6,DE=EB=4,求PA的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•南通一模)選修4-1:幾何證明選講
如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,若AD是△ABC的高,AE是⊙O的直徑,F(xiàn)是
BC
的中點(diǎn).求證:
(1)AB•AC=AE•AD;
(2)∠FAE=∠FAD.

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