【題目】已知a為實(shí)常數(shù),函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a≤1,函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:f′(x)=ex﹣a,
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在R遞增,
當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=ex﹣a,
令f′(x)>0,解得:x>lna,令f′(x)<0,解得:x<lna,
故f(x)在(lna,+∞)遞增,在(﹣∞,lna)遞減,
綜上,a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在R遞增,
a>0時(shí),f(x)在(lna,+∞)遞增,在(﹣∞,lna)遞減
(2)解:由(1)得,a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在R遞增,不可能有2個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)0<a≤1時(shí),函數(shù)f(x)在(﹣∞,lna)遞減,在(lna,+∞)遞增,
故f(lna)為函數(shù)f(x)的最小值,
令k(a)=f(lna)=a﹣alna﹣1,a>0,
k′(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna,
令k′(x)>0,解得:0<a<1,
故函數(shù)k(a)在(0,1)遞增,且k(1)=0,
故a∈(0,1)時(shí),f(lna)<0,
令m(a)=lna﹣(﹣ )=lna+ ,a∈(0,1),
m′(a)= <0,
∴m(a)在(0,1)遞減,
∴m(a)>m(1)>0,
即a∈(0,1)時(shí),﹣ <lna<0,
由于f(﹣ )= >0,f(0)=0,
當(dāng)a∈(0,1)時(shí),函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)
【解析】(1)利用導(dǎo)函數(shù)討論原函數(shù)的增減性。(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在指定區(qū)間上的最值,進(jìn)而得到函數(shù)在具體區(qū)間上的增減性,故可證明當(dāng)a∈(0,1)時(shí),函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班抽取20名學(xué)生周測(cè)物理考試成績(jī)(單位:分)的頻率分布直方圖如下:
(1)求頻率分布直方圖中a的值,并寫出眾數(shù);
(2)分別求出成績(jī)落在[50,60)與[60,70)中的學(xué)生人數(shù);
(3)從成績(jī)?cè)?/span>[50,70)的學(xué)生中任選2人,求這2人的成績(jī)都在[60,70)中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,其中a∈R. (Ⅰ)給出a的一個(gè)取值,使得曲線y=f(x)存在斜率為0的切線,并說明理由;
(Ⅱ)若f(x)存在極小值和極大值,證明:f(x)的極小值大于極大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且 .
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an , 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)遞減函數(shù),f′(x)是其導(dǎo)函數(shù),若 >x,則下列不等關(guān)系成立的是( )
A.f(2)<2f(1)
B.3f(2)>2f(3)
C.ef(e)<f(e2)
D.ef(e2)>f(e3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,O為AD的中點(diǎn),射線OP從OA出發(fā),繞著點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至OD,在旋轉(zhuǎn)的過程中,記∠AOP為x(x∈[0,π]),OP所經(jīng)過的在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域(陰影部分)的面積S=f(x),那么對(duì)于函數(shù)f(x)有以下三個(gè)結(jié)論,其中不正確的是( )
①f( )=
②函數(shù)f(x)在( ,π)上為減函數(shù)
③任意x∈[0, ],都有f(x)+f(π﹣x)=4.
A.①
B.③
C.②
D.①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣x+m(m∈R)的圖象與x軸相交于A(x1 , 0),B(x2 , 0)兩點(diǎn),且x1<x2 .
(I)若函數(shù)f(x)的最大值為2,求m的值;
(Ⅱ)若 恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(Ⅲ)證明:x1x2<1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),滿足Sn=2an﹣1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足 ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若對(duì)任意的 ,總存在唯一的 ,使得 成立,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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