Question

（12分）已知是函數(shù)的一個極值點。

（1）求；          （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若直線與函數(shù)的圖象有3個交點，求的取值范圍。

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）的單調(diào)增區(qū)間是,的單調(diào)減區(qū)間是.（Ⅲ）的取值范圍為。

【解析】本試題主要是考察了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的中 運用，利用函數(shù)的極值點可知導(dǎo)數(shù)為零得到參數(shù)的取值，然后求解析式，并利用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)的單調(diào)性以及研究常函數(shù)與函數(shù)的交點的問題的綜合運用。

（1）利用函數(shù)在是函數(shù)的一個極值點，說明了該點的導(dǎo)數(shù)值為零，得到參數(shù)的值。

（2）利用第一問的結(jié)論求解導(dǎo)數(shù)，判定單調(diào)區(qū)間。

（3）要研究常函數(shù)與已知函數(shù)的交點問題，關(guān)鍵是弄清楚，函數(shù)y=f(x)與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系即可。

解：（Ⅰ）因為,所以,因此.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,

當(dāng)時，,當(dāng)時，,所以的單調(diào)增區(qū)間是

,的單調(diào)減區(qū)間是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，且當(dāng)或時，,所以的極大值為，極小值為,

因此,,

所以在的三個單調(diào)區(qū)間直線有的圖象各有一個交點，當(dāng)且僅當(dāng),因此，的取值范圍為。