A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,f(A)=4sinA-sin2
A
2
+sin2A+1.
(1)若f(A)=2,求角A;
(2)若f(A)-m-2
3
cosA<0當(dāng)A∈[
π
6
,
π
2
]
時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)利用二倍角公式化簡(jiǎn)f(A)=2,可得sinA=
1
2
,從而求得 A 的值.
(2)由題意可得當(dāng)A∈[
π
6
π
2
]
時(shí),
m-1
4
大于sin(A-
π
3
)的最大值,根據(jù)A-
π
3
的范圍求得sin(A-
π
3
)的最大值為
1
2
,
故有
m-1
4
1
2
,由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)若f(A)=2,則4sinA•sin2
A
2
+sin2A+1=2,即4sinA
1-cosA
2
+2sinAcosA=1.
解得sinA=
1
2
,∴A=
π
6
,或 A=
6

(2)若f(A)-m-2
3
cosA<0當(dāng)A∈[
π
6
,
π
2
]
時(shí)恒成立,
則當(dāng)A∈[
π
6
,
π
2
]
時(shí),有2sinA+1-m-2
3
cosA<0,即sin(A-
π
3
)<
m-1
4
恒成立,
m-1
4
大于sin(A-
π
3
)的最大值.
由-
π
6
≤A-
π
3
π
6
,∴sin(A-
π
3
)的最大值為
1
2
,∴
m-1
4
1
2
,∴m>3.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(3,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用,得到
m-1
4
大于sin(A-
π
3
)的最大值,是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)角A,B,C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,已知向量
m
=(sinA+sinC,sinB-sinA)
,
n
=(sinA-sinC,sinB)
,且
m
n

(Ⅰ)求角C的大;
(Ⅱ)若向量
s
=(0,-1),
t
=(cosA,2cos2
B
2
)
,試求|
s
+
t
|
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
p
=(a+c,b),
q
=(a-c,b-a)且
p
q
=0,其中角A,B,C是△ABC的內(nèi)角a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊.
(1)求角C的大小;
(2)求sinA+sinB的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•大連模擬)已知A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,且滿足2sinB=sinA+sinC,設(shè)B的最大值為B0
(Ⅰ)求B0的大;
(Ⅱ)當(dāng)B=
3B04
時(shí),求cosA-cosC的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+bx-cx,其中a,b,c是△ABC的三條邊,且c>a,c>b,則“△ABC為鈍角三角形”是“?x∈(1,2),使f(x)=0”( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若a,b,c是△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊,且asinAsinB+bcos2A=
3
a.
(1)求
b
a
;   
(2)當(dāng)cosC=
3
3
時(shí),求cos(B-A)的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案