已知向量
p
=(a+c,b),
q
=(a-c,b-a)且
p
q
=0,其中角A,B,C是△ABC的內角a,b,c分別是角A,B,C的對邊.
(1)求角C的大;
(2)求sinA+sinB的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)p•q=0,進而求得a,b和c的關系式,代入余弦定理求得cosC的值,進而求得c.
(2)根據(jù)C和B表示出A,進而利用兩角和公式化簡整理后,根據(jù)A的范圍確定sinA+sinB的范圍.
解答:解:(1)由 p•q=0得(a+c)(a-c)+b(b-a)=0?a2+b2-c2=ab
由余弦定理得cosC=
a2+b2 -c2
2ab
=
ab
2ab
=
1
2

∵0<C<π∴C=
π
3

(2)∵C=
π
3
∴A+B=
3

∴sinA+sinB=sinA+sin(
3
-A)=sinA+sin
3
cosA-cos
3
sinA
=
3
2
sinA+
3
2
cosA=
3
3
2
sinA+
1
2
cosA)
=
3
sin(A+
π
6

∵0<A<
3
π
6
<A+
π
6
6

1
2
<sin(A+
π
6
)≤1∴
3
2
3
sin(A+
π
6
)≤
3

3
2
<sinA+sinB≤
3
點評:本題主要考查了余弦定理的應用,兩角和公式的化簡求值,平面向量的性質.考查了學生綜合分析運用所學知識的能力.
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