Question

已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，求證：圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：證明題,直線與圓

分析：選擇互相垂直的兩條對(duì)角線所在的直線為坐標(biāo)軸．本題關(guān)鍵是求出圓心O′的坐標(biāo)．過(guò)O′作AC的垂線，垂足為M，M是AC的中點(diǎn)，垂足M的橫坐標(biāo)與O′的橫坐標(biāo)一致．同理可求出O′的縱坐標(biāo)．即可得出結(jié)論．

解答： 證明：如圖所示，以四邊形ABCD互相垂直的對(duì)角線CA、DB所在直線分別為x軸、y軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）．
過(guò)四邊形ABCD外接圓的圓心O′分別作AC、BD、AD的垂線，垂足分別為M、N、E，則M、N、E分別是線段AC、BD、AD的中點(diǎn)，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得
x_O′=x_M=

a+c

2

，y_O′=y_N=

b+d

2

，x_E=

a

2

，y_E=

d

2

．
所以|O′E|=

1

2

b2+c2

．
又|BC|=

b2+c2

，
所以|O′E|=

1

2

|BC|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．