Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，△ABD和△BCD是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，O為BD的中點(diǎn)，且AB=AD=CB=CD=2，AC=．

(1)當(dāng)時(shí)，求證：AO⊥平面BCD；
(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求二面角的正切值．

Answer 1

(1)先證 AO⊥CO, AO⊥BD   (2)

試題分析：(1)根據(jù)題意知，在△AOC中，，，
所以，所以AO⊥CO．
因?yàn)锳O是等腰直角E角形ABD的中線，所以AO⊥BD．
又BDCO=O，所以AO⊥平面BCD．
(2)法一 由題易知，CO⊥OD．如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，
OC、OD所在的直線分別為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則有O(0，0，0)，，，．
設(shè)，則，．
設(shè)平面ABD的法向量為，

則即
所以，令，則．
所以．
因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為，
且二面角的大小為，所以，
即，整理得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014543559575.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
解得，，所以，
設(shè)平面ABC的法向量為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014543730992.png" style="vertical-align:middle;" />，，
則即
令，則，．所以．
設(shè)二面角的平面角為，則
．
所以，即二面角的正切值為．
法二 在△ABD中，BD⊥AO，在△BCD中，BD⊥CO，
所以∠AOC是二面角的平面角，即∠AOC=．
如圖，過點(diǎn)A作CO的垂線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
因?yàn)锽D⊥CO，BD⊥AO，且COAO=O，
所以BD⊥平面AOC．
因?yàn)锳H平面AOC，所以BD⊥AH．
又CO⊥AH，且COBD=O，所以AH⊥平面BCD．
過點(diǎn)A作AK⊥BC，垂足為K，連接HK．
因?yàn)锽C⊥AH，AKAH=A，所以BC⊥平面AHK．
因?yàn)镠K平面AHK，所以BC⊥HK，
所以∠AKH為二面角的平面角．

在△AOH中，∠AOH=，，則，，
所以．
在R t△CHK中，∠HCK=，所以．
在 R t△AHK中，，
所以二面角的正切值為．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、直線與平面所成的角等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．