【題目】已知橢圓的左頂點為A1,右焦點為F2,過點F2作垂直于x軸的直線交該橢圓于M、N兩點,直線A1M的斜率為.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若△A1MN的外接圓在M處的切線與橢圓相交所得弦長為,求橢圓方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
試題(Ⅰ)由已知得點坐標(biāo),由,得,解得;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,又外心在軸上,設(shè)為,則由,解得,故,所以經(jīng)過點的切線方程為,聯(lián)立橢圓方程,消去,得,則由弦長公式可得弦長為,解得,故所求方程為.
試題解析:(Ⅰ)由題意
因為A1(﹣a,0),所以
將b2=a2﹣c2代入上式并整理得(或a=2c)
所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)得a=2c,(或)
所以A1(﹣2c,0),外接圓圓心設(shè)為P(x0,0)
由|PA1|=|PM|,得
解得:
所以
所以△A1MN外接圓在M處切線斜率為,設(shè)該切線與橢圓另一交點為C
則切線MC方程為,即
與橢圓方程3x2+4y2=12c2聯(lián)立得7x2﹣18cx+11c2=0
解得
由弦長公式得
解得c=1
所以橢圓方程為
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)的圖象在處的切線與軸平行,求的值;
(2)當(dāng)時,恒成立,求的最小值.
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【題目】設(shè),是兩個平面,,是兩條直線,下列命題錯誤的是( )
A.如果,,那么.
B.如果,,那么.
C.如果,,,那么.
D.如果內(nèi)有兩條相交直線與平行,那么.
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【題目】已知橢圓的離心率為,M是橢圓C的上頂點,,F(xiàn)2是橢圓C的焦點,的周長是6.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過動點P(1,t)作直線交橢圓C于A,B兩點,且|PA|=|PB|,過P作直線l,使l與直線AB垂直,證明:直線l恒過定點,并求此定點的坐標(biāo).
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l過點M(1,0),傾斜角為.
(Ⅰ)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程;
(Ⅱ)若曲線C經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C′,且直線l與曲線C′交于A,B兩點,求|MA|+|MB|.
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【題目】(本小題滿分12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)證明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值。
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【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面底面,四邊形為菱形,是邊長為2的等邊三角形,,點為的中點.
(1)若平面與平面交于直線,求證:;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】設(shè)二階矩陣A=.
(1) 求A-1;
(2) 若曲線C在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到曲線C′:6x2-y2=1,求曲線C的方程.
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【題目】設(shè)是首項為,公差為的等差數(shù)列,是首項為,公比為q的等比數(shù)列.
(1)設(shè),若對均成立,求d的取值范圍;
(2)若,證明:存在,使得對n=2,3,···,m+1均成立,并求d的取值范圍(用表示).
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