【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (其中α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.
(1)若A,B為曲線C1 , C2的公共點,求直線AB的斜率;
(2)若A,B分別為曲線C1 , C2上的動點,當(dāng)|AB|取最大值時,求△AOB的面積.

【答案】
(1)解:消去參數(shù)α得曲線C1的普通方程C1:x2+y2﹣2x=0.

將曲線C2:ρ=4sinθ化為直角坐標(biāo)方程得x2+y2﹣4y=0.…(2)

由(1)﹣(2)得4y﹣2x=0,即為直線AB的方程,故直線AB的斜率為


(2)解:由C1:(x﹣1)2+y2=1知曲線C1是以C1(1,0)為圓心,半徑為1的圓,

由C2:x2+(y﹣2)2=4知曲線C2:是以C2(0,2)為圓心,半徑為2的圓.

∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|,

∴當(dāng)|AB|取最大值時,圓心C1,C2在直線AB上,

∴直線AB(即直線C1C2)的方程為:2x+y=2.

∵O到直線AB的距離為 ,

又此時|AB|=|C1C2|+1+2=3+

∴△AOB的面積為


【解析】(1)消去參數(shù)α得曲線C1的普通方程,將曲線C2化為直角坐標(biāo)方程,兩式作差得直線AB的方程,則直線AB的斜率可求;(2)由C1方程可知曲線是以C1(1,0)為圓心,半徑為1的圓,由C2方程可知曲線是以C2(0,2)為圓心,半徑為2的圓,又|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|,可知當(dāng)|AB|取最大值時,圓心C1 , C2在直線AB上,進(jìn)一步求出直線AB(即直線C1C2)的方程,再求出O到直線AB的距離,則△AOB的面積可求.

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