【題目】已知函數(shù)上的偶函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)判斷并證明函數(shù)上單調(diào)性;

(3)求函數(shù)上的最大值與最小值.

【答案】(1);(2)詳見解析;(3)最大值為1,最小值為.

【解析】試題分析:(1)依據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程求出實(shí)數(shù)的值;(2)先判斷其單調(diào)性,然后再運(yùn)用單調(diào)性的定義及差比法進(jìn)行推理和證明;(3)借助(2)中的單調(diào)性及函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行推斷和探求最大、小值。

試題解析:

(1)若函數(shù)上的偶函數(shù),則,

,對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,解得.

(2)由(1)得:,

函數(shù)上為增函數(shù),下證明:

設(shè)任意,即

,

,即,

于是函數(shù)上為增函數(shù).

(3)由(2)知,函數(shù)上為增函數(shù),

是偶函數(shù),則上為減函數(shù),

,,

所以的最大值為1,最小值為

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(2)為鼓勵(lì)大家網(wǎng)上購(gòu)票,該平臺(tái)常采用購(gòu)票就發(fā)放酒店入住代金券的方法進(jìn)行促銷,具體做法如下:

年齡在歲的每人發(fā)放20元,其余年齡段的每人發(fā)放50元,先按發(fā)放代金券的金額采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位網(wǎng)上購(gòu)票者中抽取5人,并在這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行回訪調(diào)查,求此3人獲得代金券的金額總和為90元的概率.

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2)若,且對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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