【題目】已知,是的中點(diǎn).
(1)若,求向量與向量的夾角的余弦值;
(2)若是線段上任意一點(diǎn),且,求的最小值;
(3)若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),且,求的最小值.
【答案】(1);(2);(3)6
【解析】
(1)根據(jù)向量數(shù)量積等于,可得,以為原點(diǎn),為軸,為軸建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)向量加法、減法以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求向量的夾角.
(2)以為原點(diǎn),為軸,為軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.
(3)設(shè),可得,利用向量的數(shù)量積可得,,再將平方,根據(jù)向量數(shù)量積定義以及基本不等式即可求解.
(1)因?yàn)?/span>,所以,
以為原點(diǎn),為軸,為軸建立平面直角坐標(biāo)系.
令,則,
所以,
設(shè)向量,與向量的夾角為,
,
(2)因?yàn)?/span>,所以,
以為原點(diǎn),為軸,為軸建立平面直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?/span>,則,
設(shè)
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值是.
(3)設(shè),
,
同理:,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表如下,頻率分布直方圖如圖:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合計(jì) | M | 1 |
(1)求出表中M,p及圖中a的值;
(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)的人數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),直線過坐標(biāo)原點(diǎn)且直線與的斜率互為相反數(shù),直線與橢圓交于兩點(diǎn)且均不與點(diǎn)重合,設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為.證明: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC在內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了配合新冠疫情防控,某市組織了以“停課不停學(xué),成長不停歇”為主題的“空中課堂”,為了了解一周內(nèi)學(xué)生的線上學(xué)習(xí)情況,從該市中抽取1000名學(xué)生進(jìn)行調(diào)査,根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)為了估計(jì)從該市任意抽取的3名同學(xué)中恰有2人線上學(xué)習(xí)時(shí)間在[200,300)的概率,特設(shè)計(jì)如下隨機(jī)模擬的方法:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),依次用0,1,2,3,…9的前若干個(gè)數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時(shí)間在[200,300)的同學(xué),剩余的數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時(shí)間不在[200,300)的同學(xué);再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表線上學(xué)習(xí)的情況.
假設(shè)用上述隨機(jī)模擬方法已產(chǎn)生了表中的30組隨機(jī)數(shù),請根據(jù)這批隨機(jī)數(shù)估計(jì)概率的值;
907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556
438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231
(2)為了進(jìn)一步進(jìn)行調(diào)查,用分層抽樣的方法從這1000名學(xué)生中抽出20名同學(xué),在抽取的20人中,再從線上學(xué)習(xí)時(shí)間[350,450)(350分鐘至450分鐘之間)的同學(xué)中任意選擇兩名,求這兩名同學(xué)來自同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究黏蟲孵化的平均溫度(單位: )與孵化天數(shù)之間的關(guān)系,某課外興趣小組通過試驗(yàn)得到如下6組數(shù)據(jù):
組號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
平均溫度 | 15.3 | 16.8 | 17.4 | 18 | 19.5 | 21 |
孵化天數(shù) | 16.7 | 14.8 | 13.9 | 13.5 | 8.4 | 6.2 |
他們分別用兩種模型①,②分別進(jìn)行擬合,得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖:
經(jīng)計(jì)算得,
(1)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應(yīng)選擇哪個(gè)模型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)殘差絕對值大于1的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù),需要剔除,剔除后應(yīng)用最小二乘法建立關(guān)于的線性回歸方程.(精確到0.1)
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),,(其中),則的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】如圖:
,,作出函數(shù)圖象如圖所示
,,作出函數(shù)圖象如圖所示
,由有三個(gè)不同的零點(diǎn)
,如圖
令
得
為滿足有三個(gè)零點(diǎn),如圖可得
,
點(diǎn)睛:本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題,先由導(dǎo)數(shù)求出兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,繼而畫出函數(shù)圖像,再由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參量取值范圍,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的兩根問題來求解,本題需要化歸轉(zhuǎn)化,函數(shù)的思想,零點(diǎn)問題等較為綜合,有很大難度。
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖一塊長方形區(qū)域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在邊AD的中點(diǎn)O處,有一個(gè)可轉(zhuǎn)動的探照燈,其照射角∠EOF始終為,設(shè)∠AOE=,探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S.
(1)當(dāng)0≤時(shí),寫出S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來回”(OE自OA轉(zhuǎn)到OC,再回到OA,稱“一個(gè)來回”,忽略OE在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時(shí)所用時(shí)間),且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定,設(shè)AB邊上有一點(diǎn)G,且∠AOG,求點(diǎn)G在“一個(gè)來回”中,被照到的時(shí)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)工會利用 “健步行”開展健步走積分獎(jiǎng)勵(lì)活動.會員每天走5千步可獲積分30分(不足5千步不積分),每多走2千步再積20分(不足2千步不積分).記年齡不超過40歲的會員為類會員,年齡大于40歲的會員為類會員.為了解會員的健步走情況,工會從兩類會員中各隨機(jī)抽取名會員,統(tǒng)計(jì)了某天他們健步走的步數(shù),并將樣本數(shù)據(jù)分為, , , , , , , , 九組,將抽取的類會員的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖, 類會員的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布表(圖、表如下所示).
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)從該地區(qū)類會員中隨機(jī)抽取名,設(shè)這名會員中健步走的步數(shù)在千步以上(含千步)的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)設(shè)該地區(qū)類會員和類會員的平均積分分別為和,試比較和的大小(只需寫出結(jié)論).
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