Question

設無窮數列的首項，前項和為（），且點在直線上（為與無關的正實數）．
（1）求證：數列（）為等比數列；
（2）記數列的公比為，數列滿足，設，求數列的前項和；
（3）若（2）中數列{Cn}的前n項和T_n當時不等式恒成立，求實數a的取值范圍。

Answer 1

(1)證明見解析；(2)；(3).

試題分析：(1)把已知條件變形為，要化為數列項的關系，一般方法是用代得，兩式相減，得，從而得前后項比為常數，只是還要注意看看是不是有，如有則可證得為等比數列；(2)由定義可知數列是等差數列，(是數列公差)，從而數列也是等差數列，其前和易得，這說明我們在求數列和時，最好能確定這個數列是什么數列；(3)恒成立，即的最大值，下面我們要求的最大值，由(2) 是關于的二次函數，我們只要應用二次函數知識(配方法)就可求出基最大值了，但要注意是范圍是正整數．
試題解析：（1）由已知，有，
當時，；         2分
當時，有，
兩式相減，得，即，
綜上，，故數列是公比為的等比數列；    4分
（2）由（1）知，，則
于是數列是公差的等差數列，即，        7分
則

=        10分
（3）不等式恒成立，即恒成立，又在上遞減，則．         14分
         16分項和與的關系，等比數列的定義；(2)等差數列的前項和；(3)不等式恒成立與二次函數在給定范圍內的最值．