Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（cos2x+1，1），

b

=（1，

3

sin2x+m）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

6

]時(shí)，-4＜f（x）＜4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算表示出f（x）的解析式，然后根據(jù)兩角和公式對(duì)其化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
（2）利用x的范圍可求得2x+

π

6

的范圍，進(jìn)而求得函數(shù)f（x）的范圍，根據(jù)-4＜f（x）＜4恒成立求得m的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=cos2x+1+

3

sin2x+m=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∴T=

2π

2

=π．
（2）∵當(dāng)x∈[0，

π

6

]時(shí)，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴2+m≤2sin（2x+

π

6

）+m+1≤3+m，
∴要使-4＜f（x）＜4恒成立，需

3+m＜4 2+m＞-4

，
解得-6＜m＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，不等式相關(guān)知識(shí)．注重了對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和推理能力的考查．