Question

已知函數f（x）=a（x+

1

x

）+2lnx，g（x）=x²．
（Ⅰ）若a＞0且a≠2，直線l與函數f（x）和g（x）的圖象切于同一點，求切線l的方程；
（Ⅱ）若?x₁[e^-1，e]，?x₂[-1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由f（x）的定義域，設出切點為（x₀，y₀），由f′（x₀）=g′（x₀），求出x₀的值，從而得出y₀，寫出切線l的方程；
（Ⅱ）x∈[-1，2]時，g_min（x）=0；根據題意只需?x∈[e^-1，e]時，f（x）＞0成立，即a（x+

1

x

）+2lnx＞0，得a＞

-2lnx

x+ 1 x

=

-2xlnx

x2+1

；求u（x）=

xlnx

x2+1

的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域是{x|x＞0}，設切點為（x₀，y₀），
由題意，f′（x₀）=g′（x₀），即a（1-

1

x02

）+

2

x0

=2x₀，
整理，得（x₀+1）（x₀-1）（x₀-

a

2

）=0；
∴x₀=-1（舍去），x₀=1，或x₀=

a

2

；
x₀=1時，f′（x₀）=g′（x₀）=2，且f（x₀）=g（x₀）=1，
此時，l的方程為y=2x-1，
x₀=

a

2

時，f′（x₀）=g′（x₀）=a，且g（x₀）=

a2

4

；
同時存在a＞0且a≠2使f（

a

2

）=

a2

4

成立，
∵記h（a）=f（

a

2

）-

a2

4

=a（

a

2

+

2

a

）+2ln

a

2

-

a2

4

=2ln

a

2

+

a2

4

+2
在（0，+∞）上是增函數，且h（

2

e2

）•h（2）＜0，
∴h（a）=0有解，即存在a使得f（

a

2

）=

a2

4

=g（

a

2

）成立，
此時l的方程為y=ax-

a2

4

；
綜上，切線l的方程為y=2x-1，或y=ax-

a2

4

．
（Ⅱ）當x∈[-1，2]時，g_min（x）=0；
要使任意的x₁∈[e^-1，e]，存在x₂∈[-1，2]，
使得不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，
只需任意的x∈[e^-1，e]時，f（x）＞0成立，
即a（x+

1

x

）+2lnx＞0，
解得a＞

-2lnx

x+ 1 x

=

-2xlnx

x2+1

；
記u（x）=

xlnx

x2+1

，u′（x）=

(lnx+1)(x2+1)-2x2lnx

(x2+1)2

=

x2(1-lnx)+1+lnx

(x2+1)2

；
∵x∈[e^-1，e]，∴-1≤lnx≤1，
∴u′（x）＞0，u（x）在[e^-1，e]上是增函數，
∴u（x）_min=u（e^-1）=-

e

e2+1

；
∴

-2xlnx

x2+1

最大值是

2e

e2+1

，
只需a＞

2e

e2+1

；
∴a的取值范圍是（

2e

e2+1

，+∞）．

點評：本題考查了函數的導數綜合應用問題，解題時應根據導數的正負來判定函數的單調性以及求函數的最值，求函數在某一點處的切線方程，是綜合題．