Question

（1）已知函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是奇函數(shù)，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間D上是偶函數(shù)，求證：G（x）=f（x）•g（x）是奇函數(shù)；
（2）已知分段函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，+∞）時的解析式為y=x²，求這個函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上的解析表達式．

Answer 1

（1）證明：因為y=f（x）是奇函數(shù)，y=g（x）是偶函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
則G（-x）=f（-x）•g（-x）=-f（x）•g（x）=-G（x），
所以G（x）是奇函數(shù)；
（2）解：設(shè)x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），
則f（-x）=（-x）²=x²，
又f（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）=-f（-x）=-x²，
故f（x）=-x²，x∈（-∞，0）．
分析：（1）由f（x），g（x）的奇偶性可得，f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），再根據(jù)奇偶性的定義即可證明G（x）為奇函數(shù)；
（2）設(shè)x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），由已知表達式可求得f（-x），根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得f（-x）=-f（x），從而可求得f（x）．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類問題的基礎(chǔ)．