【題目】已知二次函數(shù),關(guān)于的不等式的解集為,,設(shè).
()求的值.
()如何取值時,函數(shù)存在極值點,并求出極值點.
()若,且,求證:.
【答案】(1)(2)見解析(3)見解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)二次不等式解集與二次方程根的關(guān)系可得,解得的值.(2)先求導(dǎo)數(shù),再研究導(dǎo)函數(shù)零點:沒有零點就沒有極值點,有零點但不在定義區(qū)間,也不是零點;零點在定義區(qū)間且附近導(dǎo)函數(shù)變號才是零點;(3)先根據(jù)二項展開式化簡不等式左邊式子,并根據(jù)基本不等式放縮,再根據(jù)倒序相加法求中間的和,利用基本不等式放縮即得結(jié)論.
試題解析:()因為關(guān)于的不等式的解集為,
即不等式的解集為,
所以,
所以,
所以,所以.
()由()得,
所以的定義域為,
所以,
方程(*)的判別式
.
①當(dāng)時,,方程(*)的兩個實根為,,
則時,;時,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)有極小值點.
②當(dāng)時,由,得或,若,
則,,故時,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)沒有極值點,
若時,,,
則時,;時,;時,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)有極小值點,有極大值點,
綜上所述,當(dāng)時,取任意實數(shù),函數(shù)有極小值點,
當(dāng)時,,函數(shù)有極小值點,有極大值點,
(其中,).
()因為,所以,
所以,
令,
則,
因為,所以
,
所以,即.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)函數(shù)的圖象能否與軸相切?若能,求出實數(shù)a,若不能,請說明理由;
(Ⅱ)求最大的整數(shù),使得對任意,不等式
恒成立.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知點,,動點不在軸上,直線、的斜率之積.
(Ⅰ)求動點的軌跡方程;
(Ⅱ)經(jīng)過點的兩直線與動點的軌跡分別相交于、兩點。是否存在常數(shù),使得任意滿足的直線恒過線段的中點?請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)(其中,且為常數(shù)).
(1)若對于任意的,都有成立,求的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,若方程在上有且只有一個實根,求的取值范圍.
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【題目】已知是拋物線的焦點,關(guān)于軸的對稱點為,曲線上任意一點滿足;直線和直線的斜率之積為.
(1)求曲線的方程;
(2)過且斜率為正數(shù)的直線與拋物線交于兩點,其中點在軸上方,與曲線交于點,若的面積為的面積為,當(dāng)時,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)證明:;
(3)若,這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于,求的取值范圍.
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【題目】已知角始邊與軸的非負半軸重合,與圓相交于點,終邊與圓相交于點,點在軸上的射影為, 的面積為,函數(shù)的圖象大致是( )
A. B.
C. D.
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【題目】設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).
(1)若直線l在兩坐標軸上的截距相等,則直線l的方程為__________________________;
(2)若a>-1,直線l與x、y軸分別交于M、N兩點,O為坐標原點,則△OMN的面積取最小值時,直線l對應(yīng)的方程為________________.
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