設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,其中.
⑴若,求及;
⑵若,求證:,并給出等號(hào)成立的充要條件.
(1),;(2)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.
解析試題分析:(1)已知 與 的關(guān)系式求出首項(xiàng)和通項(xiàng),通常都是取特值和寫一個(gè)遞推式相減即可.(2)由(1)得到,分析第1,2項(xiàng)可得后要證的問題等價(jià)于本題是通過利用對(duì)稱項(xiàng)的關(guān)系來證明的,該對(duì)稱項(xiàng)是通過對(duì)的范圍的討論得到的. 通過累加后得到,然后不等式的兩邊同時(shí)加上即可得到答案.
試題解析:⑴ ………①,
當(dāng)時(shí)代入①,得,解得;
由①得,兩式相減得(),故,故為公比為2的等比數(shù)列,
故(對(duì)也滿足);
⑵當(dāng)或時(shí),顯然,等號(hào)成立.
設(shè),且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為:
即證:
當(dāng)時(shí),上面不等式的等號(hào)成立.
當(dāng)時(shí),與,()同為負(fù);
當(dāng)時(shí), 與,()同為正;
因此當(dāng)且時(shí),總有 ()()>0,即
,().
上面不等式對(duì)從1到求和得,;
由此得 ;
綜上,當(dāng)且時(shí),有,當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.
考點(diǎn):1.數(shù)列的求和與通項(xiàng)的關(guān)系.2.數(shù)列中不等式的證明.3.數(shù)列的累加法的應(yīng)用.4.分類的思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列滿足:其中,數(shù)列滿足:
(1)求;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)是否存在正數(shù)k,使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù),如果不存在,說明理由,如果存在,求出所有的k.
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已知數(shù)列,,且滿足.
(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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已知數(shù)列的首項(xiàng)其中,,令集合.
(1)若是數(shù)列中首次為1的項(xiàng),請(qǐng)寫出所有這樣數(shù)列的前三項(xiàng);
(2)求證:對(duì)恒有成立;
(3)求證:.
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設(shè)公比大于零的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,.
(Ⅰ)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)滿足對(duì)所有的均成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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已知數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng).
(l)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列,證明數(shù)列是等差數(shù)列并求前n項(xiàng)和.
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已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2) 設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知對(duì)任意的 ,點(diǎn)均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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設(shè)函數(shù),數(shù)列前項(xiàng)和,,數(shù)列,滿足.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明: 。
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