橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與直線x+y-1=0相交于P、Q兩點(diǎn)，且
OP
⊥
OQ
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：
1
a2
+
1
b2
等于定值；
（Ⅱ）當(dāng)橢圓的離心率e∈[
3
3
，
2
2
]時，求橢圓長軸長的取值范圍．
（1）證明：
b2x2+a2y2=a2b2
x+y-1=0

消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0
△=4a4-4（a2+b2）a2（1-b2）＞0，a2+b2＞1
設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則x1+x2=
2a2
a2+b2
，x1x2=
a2(1-b2)
a2+b2
，
由
OP
•
OQ
=0，x1x2+y1y2=0，
即x1x2+（1-x1）（1-x2）=0
化簡得2x1x2-（x1+x2）+1=0，
則
2a2(1-b2)
a2+b2
-
2a2
a2+b2
+1=0
即a2+b2=2a2b2，故
1
a2
+
1
b2
=2
（Ⅱ）由e=
c
a
，b2=a2-c2，a2+b2=2a2b2
化簡得a2=
2-e2
2(1-e2)
=
1
2
+
1
2(1-e2)

由e∈[
3
3
，
2
2
]得a2∈[
5
4
，
3
2
]，
即a∈[
5
2
，
6
2
]
故橢圓的長軸長的取值范圍是[
5
，
6
]．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF1的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè) A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點(diǎn)M在橢圓上；
（3）若點(diǎn)P、Q為橢圓 上的兩點(diǎn)，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準(zhǔn)線方程為x=2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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同步練習(xí)冊答案