精英家教網(wǎng)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1(a>b>0)與過點(diǎn)A(2,0)B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T,且橢圓的離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),求證:|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|
分析:(Ⅰ)先寫出過A、B的直線方程,因?yàn)橛深}意得
x2+y2
a2+b2
=1
y=-
1
2
x+1
有惟一解.消去y得:(b2+
1
4
a2)x2-a2x+a2b2=0
有惟一解,
利用其根的判別式等于0,即可求得a,b的值,從而得到橢圓方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得c=
6
2
,所以F1(-
6
2
,0),F2(
6
2
,0)
x2+y2
a2+b2
=1
y=-
1
2
x+1
解得x1=x2=1,接下來利用距離公式求得線段的長(zhǎng),從而證得|AT|2=
1
2
|AF1|•|AF2|
解答:解:(Ⅰ)過A、B的直線方程為
x
2
+y=1

因?yàn)橛深}意得
x2+y2
a2+b2
=1
y=-
1
2
x+1
有惟一解.
(b2+
1
4
a2)x2-a2x+a2b2=0
有惟一解,
所以△=a2b2(a2+4b2-4)=0(ab≠0),,
故(a2+4b2-4)=0
又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">c=
3
2
,即
a2-b2
a2
=
3
4

所以a2=4b2
從而得a2=2,b2=
1
2

故所求的橢圓方程為
x2
2
+2y2=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得c=
6
2
,
所以F1(-
6
2
,0),F2(
6
2
,0)

x2+y2
a2+b2
=1
y=-
1
2
x+1
解得x1=x2=1,,
因此T=(1,
1
2
)

從而|AT|2=
5
4
,
因?yàn)?span id="jsabnvp" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">|AF1|•|AF2|=
5
2

所以|AT|2=
1
2
|AF1|•|AF2|
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、直線方程、橢圓方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、方程思想.屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)過點(diǎn)P(1,
3
2
)
,其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率e=
1
2
,M,N是橢圓右準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且
F1M
F2N
=0

(1)求橢圓的方程;
(2)求MN的最小值;
(3)以MN為直徑的圓C是否過定點(diǎn)?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F(1,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng),值有|OA|2+|OB|2<|AB|2,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)為F的最大距離是2+
3
,已知點(diǎn)M(1,e)在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過原點(diǎn)且斜率為K的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),其中P在第一象限,它在x軸上的射影為點(diǎn)N,直線QN交橢圓于另一點(diǎn)H.證明:對(duì)任意的K>0,點(diǎn)P恒在以線段QH為直徑的圓內(nèi).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•武清區(qū)一模)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0)、
F2(1,0),M、N是直線x=a2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且
F1M
F2N
=0

(1)設(shè)曲線C是以MN為直徑的圓,試判斷原點(diǎn)O與圓C的位置關(guān)系;
(2)若以MN為直徑的圓中,最小圓的半徑為2
2
,求橢圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案