定義函數(shù)(為定義域)圖像上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為函數(shù)的的模.若模存在最大值,則稱(chēng)之為函數(shù)的長(zhǎng)距;若模存在最小值,則稱(chēng)之為函數(shù)的短距.
(1)分別判斷函數(shù)是否存在長(zhǎng)距與短距,若存在,請(qǐng)求出;
(2)求證:指數(shù)函數(shù)的短距小于1;
(3)對(duì)于任意是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)的短距不小于2,若存在,請(qǐng)求出的取值范圍;不存在,則說(shuō)明理由?
(1)短距為,長(zhǎng)距不存在,短距為,長(zhǎng)距為5;(2)證明見(jiàn)解析;(3).

試題分析:本題屬于新定義概念,問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)圖象上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值和最小值(如有的話(huà)),正面討論時(shí)我們把距離表示為的函數(shù).(1)對(duì)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),因此存在短距為,不存在長(zhǎng)距,對(duì),
,即有最大值也有最小值,因此短距和長(zhǎng)距都有;(2)對(duì)函數(shù),,由于,因此短距不大于1,令,則有,故當(dāng)時(shí),存在使得 ,當(dāng)時(shí),存在使得 ,即證;(3)記,按題意條件,則有不等式對(duì)恒成立,這類(lèi)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題,我們可采取分離參數(shù)法,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,按分別討論,由此可求得的范圍.
(1)設(shè)(當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào))+2分
短距為,長(zhǎng)距不存在。    +4分
(2)設(shè)   +6分
        +8分
短距為,長(zhǎng)距為5。    +9分
(3)設(shè) 函數(shù)的短距不小于2
對(duì)于始終成立:+10分
當(dāng)時(shí):對(duì)于始終成立    +12分
當(dāng)時(shí):取即可知顯然不成立           +13分
當(dāng)時(shí):對(duì)于始終成立      +15分
綜上     +16分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

下列各組函數(shù)中,為同一個(gè)函數(shù)的一組是( 。
A.f(x)=x-3與g(x)=
x2-6x+9
B.f(x)=πx2與面積y是半徑x的函數(shù)
C.f(x)=
x2-4
x-2
與g(x)=x+2
D.f(x)=|x-1|與g(t)=
t-1,(t≥1)
1-t,(t<1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合,表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合:對(duì)于函數(shù),存在一個(gè)正數(shù),使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間.例如,當(dāng),時(shí),,.現(xiàn)有如下命題:
①設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053854693315.png" style="vertical-align:middle;" />,則“”的充要條件是“,”;
②函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值;
③若函數(shù),的定義域相同,且,,則;
④若函數(shù),)有最大值,則.
其中的真命題有      .(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

f(x)=,f(x)的定義域是________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

[2014·武漢模擬]函數(shù)f(x)=的值域?yàn)?  )
A.(-∞,-1)
B.(-1,0)∪(0,+∞)
C.(-1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

函數(shù)的定義域是                       

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(2011•山東)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度,長(zhǎng)度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米,且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.
(1)寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域;
(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為( 。
A.B.(3,+∞)
C.D.(﹣∞,2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知的值為      

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