【題目】已知函數(shù).
(1)求f(x)的定義域和值域;
(2)判斷f(x)的奇偶性與單調(diào)性;
(3)解關(guān)于x的不等式f(x2﹣2x+2)+f(﹣5)<0.
【答案】(1)定義域R,值域?yàn)?/span>;(2)見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)將函數(shù)看作方程,解得,再由2x>0,解得y的范圍,即為所求;(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R,由f(﹣x)=﹣f(x),推出f(x)是奇函數(shù);利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;(3)利用f(x)為奇函數(shù)把不等式轉(zhuǎn)化為f(x2﹣2x+2)<f(5),再根據(jù)其單調(diào)性即可得到不等式的解集.
(1)f(x)的定義域是R,令y=,得2x=﹣.
∵2x>0,∴﹣>0,解得﹣1<y<1.
∴f(x)的值域?yàn)閧y|﹣1<y<1};
(2)∵f(﹣x)===﹣f(x),∴f(x)是奇函數(shù).
∵f(x)==1﹣,在R上任取x1,x2,且x1<x2,
f(x1)﹣f(x2)==,
∵x1<x2,∴,(2x1+1)>0,
即有f(x1)<f(x2),則f(x)在R上是增函數(shù).
(3)由(2)得f(x)是奇函數(shù),且f(x)在R上是增函數(shù).
則f(x2﹣2x+2)+f(﹣5)<0即為f(x2﹣2x+2)<﹣f(﹣5)=f(5),
得x2﹣2x+2<5,即有x2﹣2x﹣3<0,
解得﹣1<x<3,則不等式解集為(﹣1,3).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= 的圖象上關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有3對(duì),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn), 邊所在直線的方程為,點(diǎn)在邊所在直線上.
(Ⅰ)求邊所在直線的方程;
(Ⅱ)求矩形外接圓的方程;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù).
(1) 求實(shí)數(shù)的值;
(2) 判斷并用定義證明該函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;
(3) 若方程在內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,某超市的一種小商品在過(guò)去近20天內(nèi)的日銷售量(件)與價(jià)格(元)均為時(shí)間t(天)的函數(shù),且日銷售量(件)近似函數(shù)g(t)=80-2t,價(jià)格(元)近似滿足函數(shù)關(guān)系式為
f(t)=20-|t-10|.
(1)試寫出該種商品的日銷售額y與時(shí)間t(0≤t≤20)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線M的方程為ρ2(1+sin2θ)=1.
(1)求曲線M的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn),求傾斜角α的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列,其中的公差不為.設(shè)是數(shù)列
的前項(xiàng)和.若、、是數(shù)列的前項(xiàng),且.
(Ⅰ)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列為等差數(shù)列,求實(shí)數(shù);
(Ⅲ)構(gòu)造數(shù)列,,,,,,,,,…,,,,,…,,…,
若該數(shù)列前項(xiàng)和,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是, ,且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過(guò)左焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線與橢圓交于兩點(diǎn),求線段的長(zhǎng).
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