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【題目】已知正方形ABCD,E,F分別為AB,CD的中點,將△ADE沿DE折起,使△ACD為等邊三角形,如圖所示,記二面角A-DE-C的大小為.

1)證明:點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上;

2)求角的正弦值.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

1)過點平面,垂足為,連接,.證明的垂直平分線上,則點在平面內的射影在直線上,

2)以點為坐標原點,以所在直線為軸,所在直線為軸,過點作平行于的向量為軸建立空間直角坐標系.設正方形的邊長為,分別求出平面與平面的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得角的正弦值.

1)證明:過點AAG⊥平面BCDE,垂足為G,連接GC,GD.

因為△ACD為等邊三角形,所以AC=AD,所以點GCD的垂直平分線上.

又因為EFCD的垂直平線,所以點A在平面BCDE內的射影G在直線EF.

另證:過點AAGEF,再證AGCD,從而證得AG⊥平面BCDE,

即點A在平面BCDE內的射影G在直線EF

2)解:以G為坐標原點,GA所在直線為z軸,GF所在直線為y軸,過點G作平行于DC的直線為x軸建立空間直角坐標系.

設正方形ABCD的邊長為2a,連接AF,

,

所以

設平面的一個法向量為,則,

,得,又平面的一個法向量

所以,

.

練習冊系列答案
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;

;

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