Question

【題目】已知直線l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0（t為參數(shù)）和圓C：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0：
（1）t∈R時(shí)，證明直線l與圓C總相交：
（2）直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最短，求此弦長(zhǎng)并求此時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：直線l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0可化為t（x﹣y）+（3x﹣y﹣4）=0

令 ，解得x=y=2

∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)A（2，2），

（2，2），代入可得22+22﹣12﹣16+16＜0，

∴t∈R時(shí)，證明直線l與圓C總相交

（2）

解：直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小時(shí)，弦心距最大，此時(shí)CA⊥l

∵圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，圓心C（3，4），半徑為3

∴CA的斜率為2，

∴l(xiāng)的斜率為﹣

∵直線l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0的斜率為

∴ =﹣

∴t=﹣

∵|CA|= =

∴直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為2 =4

【解析】（1）直線l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0可化為t（x﹣y）+（3x﹣y﹣4）=0，解方程組 ，可得直線l恒過(guò)定點(diǎn)，即可得出結(jié)論；（2）直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小時(shí)，弦心距最大，此時(shí)CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，從而可求t的值，求出弦心距，可得直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值．