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【題目】已知橢圓x2+2y2=1,過原點的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于A、B和C、D,記得到的平行四邊形ACBD的面積為S.
(1)設A(x1 , y1),C(x2 , y2),用A、C的坐標表示點C到直線l1的距離,并證明S=2|x1y2﹣x2y1|;
(2)設l1與l2的斜率之積為﹣ ,求面積S的值.

【答案】
(1)解:依題意,直線l1的方程為y= x,由點到直線間的距離公式得:點C到直線l1的距離d= = ,

因為|AB|=2|AO|=2 ,所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|;

當l1與l2時的斜率之一不存在時,同理可知結論成立;


(2)解:方法一:設直線l1的斜率為k,則直線l2的斜率為﹣ ,

設直線l1的方程為y=kx,聯(lián)立方程組 ,消去y解得x=± ,

根據對稱性,設x1= ,則y1=

同理可得x2= ,y2= ,所以S=2|x1y2﹣x2y1|=

方法二:設直線l1、l2的斜率分別為 、 ,則 =﹣ ,

所以x1x2=﹣2y1y2,

=4 =﹣2x1x2y1y2

∵A(x1,y1)、C(x2,y2)在橢圓x2+2y2=1上,

∴( )( )= +4 +2( + )=1,

即﹣4x1x2y1y2+2( + )=1,

所以(x1y2﹣x2y12= ,即|x1y2﹣x2y1|= ,

所以S=2|x1y2﹣x2y1|=


【解析】(1)依題意,直線l1的方程為y= x,利用點到直線間的距離公式可求得點C到直線l1的距離d= ,再利用|AB|=2|AO|=2 ,可證得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|;當l1與l2時的斜率之一不存在時,同理可知結論成立;(2)方法一:設直線l1的斜率為k,則直線l2的斜率為﹣ ,可得直線l1與l2的方程,聯(lián)立方程組 ,可求得x1、x2、y1、y2 , 繼而可求得答案.方法二:設直線l1、l2的斜率分別為 、 ,則 =﹣ ,利用A(x1 , y1)、C(x2 , y2)在橢圓x2+2y2=1上,可求得面積S的值.
【考點精析】關于本題考查的點到直線的距離公式,需要了解點到直線的距離為:才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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學生編號

1

2

3

4

5

6

7

8

數學成績x

60

65

70

75

80

85

90

95

物理成績y

72

77

80

84

88

90

93

95

(1) 求yx的線性回歸直線方程(系數保留到小數點后兩位).

(2) 如果某學生的數學成績?yōu)?3分,預測他本次的物理成績.

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,ab.參考數據:=77.5,

≈84.9,,.)

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