【題目】在三棱錐中,.

1)求證:;

2)若點(diǎn) 上一點(diǎn),且,求直線與平面所成的角的正弦值.

【答案】1)證明見解析;(2

【解析】

1)取的中點(diǎn)E,連接,然后由等腰三角形的性質(zhì)推出,從而利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)可使問題得證;

2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,然后求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),再求出平面的一個(gè)法向量,從而利用空間向量的夾角公式求解即可.

解:

1)證明:取的中點(diǎn)E,連接

,∴

同理可得,

,∴平面,

平面,∴.

2)∵,

為等腰直角三角形,且

,∴,即,

,且,∴平面

∴以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè),∵,,

,

,

,

設(shè)是平面的法向量,

,得,∴,

設(shè)直線與平面所成角為,

,

∴直線與平面所成角的正弦值為.

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