已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=m，其中0＜m＜1，函數(shù)數(shù)學(xué)公式．
（1）若正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an+1=f（an）（n≥1且n∈N），證明數(shù)學(xué)公式是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an+1≤f（an）（n≥1且n∈N），數(shù)列{bn}滿足數(shù)學(xué)公式，試證明：b1+b2+…+bn＜1．

解：（1）依題目條件有
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，即．…（4分）
（2）由條件可知，∴，
即∴，∴，，，
疊加可得，而
∵0＜m＜1，∴，
∴，
∴，得證…（16分）．
分析：（1）通過(guò)函數(shù)的表達(dá)式，得到數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系式，借助等差數(shù)列的定義，證明是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）由條件可知，，利用疊加法，推出，證明，，
然后求和得到所證明的結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，等差關(guān)系的確定，累加法，裂項(xiàng)法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{
an
2n+1
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an．
（2）設(shè)bn=
1
an
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，并求Sn的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義：稱
n
a1+a2+…+an
為n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”，已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為
1
2n
，則
lim
n→∞
nan
sn
（　�。�
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=2，點(diǎn)(
an
，an+1)在函數(shù)y=x2+1的圖象上，數(shù)列bn中，點(diǎn)（bn，Tn）在直線y=-
1
2
x+3上，其中Tn是數(shù)列bn的前項(xiàng)和．（n∈N+）．
（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1•log2bn+2
}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
1
2
a)對(duì)?n∈N+恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，Sn=
1
8
(an+2)2
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
1
2
an-30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

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