Question

（本小題滿分12分）
已知數列中，，，且．
（1）設，求是的通項公式；
（2）求數列的通項公式；
（3）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項．

Answer 1

（1）
（2）
（3）證明三項構成等差中項的性質，只要利用等差中項的性質分析可得。

試題分析：（1）證明：由題，得，
,．又，，   
所以是首項為1，公比為的等比數列．                              
                                                   
（2）解：由（Ⅰ），，，……,．
將以上各式相加，得．                     
所以當時，                             
上式對顯然成立．                                                   
（3）解：由（Ⅱ），當時，顯然不是與的等差中項，故． 
由可得，由得  ，     ①       
．于是．                                 
另一方面，
，．
由①可得．
所以對任意的，是與的等差中項． 
點評：解決的關鍵是對于數列的公式的熟練運用，等比數列和累加法思想的運用，屬于中檔題。易錯點是對于公比的討論容易忽略。