(12分)(2011•重慶)設(shè)f(x)=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′(x),若函數(shù)y=f′(x)的圖象關(guān)于直線x=﹣對(duì)稱,且f′(1)=0
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值.
(Ⅰ)a=3 b=﹣12(Ⅱ)f(1)=﹣6
解析試題分析:(Ⅰ)先對(duì)f(x)求導(dǎo),f(x)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù),由對(duì)稱性可求得a,再由f′(1)=0即可求出b
(Ⅱ)對(duì)f(x)求導(dǎo),分別令f′(x)大于0和小于0,即可解出f(x)的單調(diào)區(qū)間,繼而確定極值.
解:(Ⅰ)因f(x)=2x3+ax2+bx+1,故f′(x)=6x2+2ax+b
從而f′(x)=6y=f′(x)關(guān)于直線x=﹣對(duì)稱,
從而由條件可知﹣=﹣,解得a=3
又由于f′(x)=0,即6+2a+b=0,解得b=﹣12
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x3+3x2﹣12x+1
f′(x)=6x2+6x﹣12=6(x﹣1)(x+2)
令f′(x)=0,得x=1或x=﹣2
當(dāng)x∈(﹣∞,﹣2)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,﹣2)上是增函數(shù);
當(dāng)x∈(﹣2,1)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(﹣2,1)上是減函數(shù);
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
從而f(x)在x=﹣2處取到極大值f(﹣2)=21,在x=1處取到極小值f(1)=﹣6.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,考查運(yùn)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),在函數(shù)圖象上取不同兩點(diǎn)A、B,設(shè)線段AB的中點(diǎn)為,試探究函數(shù)在Q點(diǎn)處的切線與直線AB的位置關(guān)系?
(3)試判斷當(dāng)時(shí)圖象是否存在不同的兩點(diǎn)A、B具有(2)問中所得出的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(14分)(2011•福建)已知a,b為常數(shù),且a≠0,函數(shù)f(x)=﹣ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(I)求實(shí)數(shù)b的值;
(II)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(III)當(dāng)a=1時(shí),是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M(m<M),使得對(duì)每一個(gè)t∈[m,M],直線y=t與曲線y=f(x)(x∈[,e])都有公共點(diǎn)?若存在,求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若,當(dāng)時(shí),在區(qū)間內(nèi)存在極值,求整數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(1)討論在內(nèi)和在內(nèi)的零點(diǎn)情況.
(2)設(shè)是在內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),求在上的最值.
(3)證明對(duì)恒有.[來
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的極大值和極小值
(2)直線與函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn),求的范圍
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