【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，求證： ，并指出等號成立的條件；

（Ⅱ）求證：對任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，有.

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析

【解析】試題分析：

(Ⅰ)構(gòu)造新函數(shù) ，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，據(jù)此即可證得.

(Ⅱ)原問題等價于.然后分類討論當(dāng)時和當(dāng)時的情況即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè) .

∵，

∴當(dāng)時， ，故遞增；當(dāng)時， ，故遞減.

因此， ，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

（Ⅱ）解法一：“存在實(shí)數(shù)，有”等價于.

注意到.∵，

∴當(dāng)時， ，故在上單調(diào)遞增，從而成立；

當(dāng)時，令，得，∴在上遞減，在上遞增

若，即時， 在上遞增，故成立；

若，即時， 在上遞增，故成立；

若，即時， 在上遞減，在上遞增，

故成立.

綜上所述，對任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，有.

解法二：①當(dāng)時， 在區(qū)間上遞增，則，

②當(dāng)時，由（Ⅰ）可知；

③當(dāng)時，由（Ⅰ）可知

綜上，對任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，有.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓.

（1）若橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，①求橢圓的方程；

②設(shè)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線和與軸和軸相交于點(diǎn)，求直線的方程；

（2）設(shè) 過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且均在的右側(cè)， ，求橢圓離心率的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在雙曲線 中，F(xiàn)1 ， F2分別是左右焦點(diǎn)，A1 ， A2 ， B1 ， B2分別為雙曲線的實(shí)軸與虛軸端點(diǎn)，若以A1A2為直徑的圓總在菱形F1B1F2B2的內(nèi)部，則此雙曲線 離心率的取值范圍是（ ）
A.
B.[ ，+∞）
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列各小題中，P是q的充要條件的是（08年山東理改編）
1）p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有兩個不同的零點(diǎn)．
2）p： =1，q：y=f（x）是偶函數(shù)．
3）p：cosα=cosβ，q：tanα=tanβ．
4）p：A∩B=A，q：CUBCUA．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2|x﹣m|﹣1（m為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，記a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），則a，b，c的大小關(guān)系為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】觀察下列等式：32=52﹣42 ， 52=132﹣122 ， 72=252﹣242 ， 92=412﹣402 ， …照此規(guī)律，第n個等式為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，其中；命題：實(shí)數(shù)滿足.

（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)f（x）= （a＞0，b＞0）．
（1）當(dāng)a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）是奇函數(shù)，求a與b的值；
（3）在（2）的條件下，試證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并解不等式f（1﹣m）+f（1+m2）＜0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=cos2x+sinx
（1）求f（ ）的值；
（2）求f（x）在[﹣ ， ]上的最值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案