【題目】已知函數(shù)(,且為常數(shù)).
(1)若函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)的斜率為(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(3)已知,且.求證:.
【答案】(1)或;(2);(3)詳見(jiàn)解析.
【解析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義知,由此構(gòu)造方程求得結(jié)果;
(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為且恒成立的問(wèn)題,令,分別在、和或時(shí),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性確定最小值,令,從而求得的取值范圍;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論可知在上單調(diào)遞增,分類(lèi)討論可確定,將不等關(guān)系代入所求不等式左側(cè),結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可整理得到結(jié)果.
(1)由題意得:
的圖象在處的切線(xiàn)的斜率為,,
,解得:,
,或;
(2)函數(shù)在上單調(diào)遞增,對(duì)于任意的,都有恒成立
即且,
當(dāng),恒成立,滿(mǎn)足題意;
當(dāng)時(shí),由得:,即或或,
令,則,
①當(dāng)且時(shí),,在上單調(diào)遞減,
要使得恒成立,即要求,
即,解得:,滿(mǎn)足題意;
②當(dāng)或,且時(shí),,在上單調(diào)遞增,
要使得恒成立,即要求,
即,解得:;
或
綜上所述:的取值范圍是;
(3)由(2)可知:當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,此時(shí),
當(dāng)時(shí),,而,
,即,
,
當(dāng)時(shí),,而,
,即,
綜上,對(duì)于任意,都有,
,結(jié)論得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是邊長(zhǎng)為2的正方形,平面,且.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn),使二而角等于45°?若存在,請(qǐng)找出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為6,離心率為,
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是一個(gè)單調(diào)遞增的等比數(shù)列,是一個(gè)等差數(shù)列,是的前項(xiàng)和,其中,,成等差數(shù)列,.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)若,,既成等比數(shù)列,又成等差數(shù)列.
(i)求的通項(xiàng)公式;
(ii)對(duì)于數(shù)列,若且,或且,則為數(shù)列的轉(zhuǎn)折點(diǎn),求的轉(zhuǎn)折點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若在上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高三(1)班在一次語(yǔ)文測(cè)試結(jié)束后,發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)诒痴b內(nèi)容方面失分較為嚴(yán)重.為了提升背誦效果,班主任倡議大家在早晩讀時(shí)間站起來(lái)大聲誦讀,為了解同學(xué)們對(duì)站起來(lái)大聲誦讀的態(tài)度,對(duì)全班50名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理后制成如表:
考試分?jǐn)?shù) | , | , | , | , | , | , |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 5 | 10 | 5 |
贊成人數(shù) | 4 | 6 | 9 | 3 | 6 | 4 |
(1)欲使測(cè)試優(yōu)秀率為,則優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線(xiàn)應(yīng)定為多少分?
(2)依據(jù)第1問(wèn)的結(jié)果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來(lái)大聲誦讀的態(tài)度與考試成績(jī)是否優(yōu)秀的關(guān)系,列出2×2列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為贊成與否的態(tài)度與成績(jī)是否優(yōu)秀有關(guān)系.
參考公式及數(shù)據(jù):,.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問(wèn)題:“今有勾五步,股十二步,問(wèn)勾中容方幾何?”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法:如圖1,用對(duì)角線(xiàn)將長(zhǎng)和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形,每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形(黃)和兩個(gè)小直角三角形(朱、青).將三種顏色的圖形進(jìn)行重組,得到如圖2所示的矩形.該矩形長(zhǎng)為,寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng).由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論,如圖3.設(shè)為斜邊的中點(diǎn),作直角三角形的內(nèi)接正方形對(duì)角線(xiàn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),則下列推理正確的是( )
①由圖1和圖2面積相等得;
②由可得;
③由可得;
④由可得.
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)直線(xiàn)為函數(shù)圖象的一條切線(xiàn),若對(duì)任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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