Question

等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直線MN⊥AD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域．

Answer 1

分析：直線MN左側(cè)的面積的計算方法與MN所處的位置不同計算方式不同，MN所處的位置可分為三種情況：M在A，H之間，M在H，G之間或M在G，D之間，所以分三段計算求解．

解答：解析；作BH⊥AD，H為垂足，
CG⊥AD，G為垂足，
依題意，則有AH=

a

2

，AG=

3

2

a．
（1）當(dāng)M位于點H的左側(cè)時，
N∈AB，由于AM=x，∠BAD=45°，
∴MN=x．
∴y=S_△AMN=

1

2

x²（0≤x≤

a

2

）．
（2）當(dāng)M位于HG之間時，
由于AM=x，∠BAD=45°，
∴MN=

a

2

，BN=x-

a

2

．
∴y=S_{直角梯形AMNB}=

1

2

•

a

2

[x+（x-

a

2

）]=

1

2

ax-

a2

8

（

a

2

＜x≤

3

2

a）．
（3）當(dāng)M位于點G的右側(cè)時，
由于AM=x，MN=MD=2a-x，
∴y=S_梯形ABCD-S_△MDN=

1

2

•

a

2

（2a+a）-

1

2

（2a-x）²=

3a2

4

-

1

2

（4a²-4ax+x²）=-

1

2

x²+2ax-

5a2

4

（

3

2

a＜x≤2a）．
綜上：y=

1 2 x2 x∈[0 a 2 ] 1 2 ax- a2 8 x∈( a 2 3 2 a] - 1 2 x2+2ax- 5a2 4 x∈( 3 2 a，2a]

點評：本題屬于一道分段函數(shù)的應(yīng)用問題，屬于一個中檔題，能有效考查學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力．