Question

設(shè)點(diǎn)P在曲線y=

1

2

e^x+1上，點(diǎn)Q在曲線y=ln（2x-2）上，則|PQ|最小值為（　�。�

• A、1-ln2
• B、

  2

  （2-ln2）
• C、1+ln2
• D、

  2

  （1+ln2）

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)y=

1

2

e^x+1與函數(shù)y=ln（2x-2）互為反函數(shù)，可知P、Q兩點(diǎn)間的最短距離為點(diǎn)P到直線y=x的最短距離d的2倍，利用導(dǎo)數(shù)求出d即可．

解答：解：∵函數(shù)y=

1

2

e^x+1與函數(shù)y=ln（2x-2）互為反函數(shù)，
∴函數(shù)y=

1

2

e^x+1與函數(shù)y=ln（2x-2）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴|PQ|的最小值是點(diǎn)P到直線y=x的最短距離的2倍，
設(shè)曲線y=

1

2

e^x+1上斜率為1的切線為y=x+b，
∵y′=

1

2

e^x，由

1

2

e^x=1得x=ln2，
即切點(diǎn)為（ln2，2），
∴b=2-ln2，
∴d=

|2-ln2|

2

，
∴P、Q兩點(diǎn)間的最短距離為2d=

2

(2-ln2)，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查反函數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，點(diǎn)到直線的距離公式等式知識(shí)的靈活應(yīng)用，屬于難題．