在平面直角坐標(biāo)系xoy中,設(shè)點F(
1
2
,0)
,直線l:x=-
1
2
,點P在直線l上移動,R是線段PF與y軸的交點,RQ⊥FP,PQ⊥l.
( I) 求動點Q的軌跡的方程C;
( II) 設(shè)圓M過A(1,0),且圓心M在曲線C上,設(shè)圓M過A(1,0),且圓心M在曲線C上,TS是圓M在y軸上截得的弦,當(dāng)M運動時弦長|TS|是否為定值?請說明理由.
分析:( I) 判斷動點Q的軌跡E是以F為焦點,l為準線的拋物線,即可得到拋物線的方程;
( II)M到y(tǒng)軸的距離為d=|x0|=x0,求出圓的半徑,即可表示出弦長|TS|,利用M(x0,y0)∈C,即可得到結(jié)論.
解答:解:( I) 依題意知,直線l的方程為:x=-
1
2
.…(2分)
且F的坐標(biāo)為(
1
2
,0),
∵點R是線段FP的中點,且RQ⊥FP,∴RQ是線段FP的垂直平分線.…(4分)
∴|PQ|是點Q到直線l的距離.
∵點Q在線段FP的垂直平分線,∴|PQ|=|QF|.…(6分)
故動點Q的軌跡E是以F為焦點,l為準線的拋物線,
其方程為:y2=2x(x>0).…(8分)
( II)?M(x0,y0)∈C,M到y(tǒng)軸的距離為d=|x0|=x0,…(9分)
圓的半徑r=|MA|=
(x0-1)2+y02
,…(10分)
|TS|=2
r2-d2
=2
y
2
0
-2x0+1
,M(x0,y0)∈C…(12分)
由( I)知y02=2x0
所以|TS|=2
y
2
0
-2x0+1
=2
,是定值.…(14分)
點評:本題考查拋物線的定義,考查軌跡方程,考查圓中弦長的求解,正確運用拋物線的定義是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點,點P在圓C上,且滿足PF=4,求點P的坐標(biāo).

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點.若點A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點為P,求動點P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點,直線QA1,QA2分別交x軸于點S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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